"사인-고든 방정식"의 두 판 사이의 차이

2012년 1월 12일 (목) 05:14 판

사인-고든 방정식
\(u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0\)
양자장론에 등장하는 클라인-고든 방정식에서 이름이 붙음
\((\Box + m^2) \psi =\psi_{tt}-\psi_{xx}+m^2\psi=0\)
다음과 같은 솔리톤 해를 가짐
- kink
- anti-kink
- breather

라그랑지안 \(\mathcal{L}_\text{SG}(\psi) = \frac{1}{2}(\psi_t^2 - \psi_x^2) -1 + \cos\psi\) 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식
\(\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0\) 을 적용하여 얻어진다

변수 \(\xi=\frac{t+x}{2}\), \(\eta=\frac{t-x}{2}\) 를 도입하면, 사인-고든 방정식은
\(u_{\xi\eta}+\sin u=0\) 로 쓰여진다

함수 u가 사인-고든 방정식 \(u_{\xi\eta}+\sin u=0\)의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자
\(\begin{align}v_{\xi} & = u_{\xi} + 2a \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\v_{\eta} & = -u_{\eta} + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)\end{align} \,\!\)
함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다
해 u=0 에 이 변환을 적용하면, \(v(\xi ,\eta )=4 \tan ^{-1}\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)\) 를 얻을 수 있다

\(u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\)

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 * 함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다
 * 해 u=0 에 이 변환을 적용하면, <math>v(\xi ,\eta )=4 \tan ^{-1}\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)</math> 를 얻을 수 있다
+<h5>trvelling wave</h5>
+* <math>u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0</math>
+*  Let <math>u(x,t)=f(x-vt)</math><br><math>v^2f''-f''+\sin f=0</math><br> This can be integrated to produce the first order equation<br><math>\frac{1}{2}(c^2-1)(f')^2-\cos f=a</math><br> If we use additional condition f(z)\to 0 and f'(z) \to 0 as z\to \infty. We get a=-1.<br><math>(f')^2=\frac{4}{1-v^2}\sin^2(f/2)</math><br>
+<math>u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math>