"삼각함수에는 왜 공식이 많은가?"의 두 판 사이의 차이
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| − | * 비슷한 예로 [[타원함수]] | + | * 비슷한 예로 [[타원함수]] 또는 [[자코비 세타함수]]의 많은 공식들은 [[타원곡선]]이 가지는 군의 구조를 이용하여 이해할 수 있음 |
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| + | * 복소지수함수의 성질 <math>e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}</math> 은 단위원에 군의 구조를 준다 | ||
| + | * [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0]] 항목 참조 | ||
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* 회전변환이 군의 구조를 갖기 때문에 나타나는 성질이다 | * 회전변환이 군의 구조를 갖기 때문에 나타나는 성질이다 | ||
| + | * 단위원과 평면의 회전변환 군은 군론의 입장에서 같다 | ||
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* [[삼각함수의 일반화]] | * [[삼각함수의 일반화]] | ||
* [[자코비 세타함수]] | * [[자코비 세타함수]] | ||
| + | * [[#]] | ||
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
2010년 5월 27일 (목) 11:34 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 사인과 코사인은 단위원을 매개화하는 함수
- \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)
- 단위원은 군의 구조를 가짐. (군론(group theory))
- \(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\)
- 삼각함수의 많은 공식들은 이 단위원이 가진 군의 구조를 통하여 이해할 수 있음
- 회전변환이 가진 군의 구조로 이해할 수도 있음
- 비슷한 예로 타원함수 또는 자코비 세타함수의 많은 공식들은 타원곡선이 가지는 군의 구조를 이용하여 이해할 수 있음
덧셈공식
- 삼각함수 항목 참조
\(\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\)
\(\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\\)
복소지수함수
- 삼각함수의 덧셈공식은 복소지수함수 \(f(x)=e^{ix}=\cos x+ i\sin x\)의 성질 \(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\)과 같다
\(e^{i\theta}e^{i\phi}=(\cos \theta+ i\sin \theta)(\cos \phi+i\sin \phi)=(\cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi)+i(\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi )\)
\(e^{i(\theta+\phi)}=\cos (\theta+\phi)+i \sin (\theta+\phi)\)
여기서 양변의 실수부와 허수부를 비교하면, 삼각함수의 덧셈공식을 얻는다 - 복소지수함수의 성질 \(e^{i\theta}e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\) 은 단위원에 군의 구조를 준다
- [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0]] 항목 참조
회전변환을 통한 이해
- 평면에서 원점을 중심으로 각도 \(\theta \) 만큼의 회전변환은 다음 행렬로 표현된다
\(\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\) - \(\theta_1\)과 \(\theta_2\) 만큼 회전시키는 두 회전변환을 합성하면, \(\theta_1+\theta_2\) 만큼 회전시키는 또다른 회전변환을 하나 얻게 되는데, 이로부터 덧셈공식을 얻을 수 있다
\(\begin{pmatrix}\cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (\theta_{1}+\theta_{2}) & -\sin (\theta_{1}+\theta_{2}) \\ \sin (\theta_{1}+\theta_{2}) & \cos (\theta_{1}+\theta_{2}) \end{pmatrix}\) - 회전변환이 군의 구조를 갖기 때문에 나타나는 성질이다
- 단위원과 평면의 회전변환 군은 군론의 입장에서 같다
타원함수의 경우
- 바이어슈트라스의 타원함수 는 타원곡선 을 매개화하며, 다양한 성질을 가진다
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
관련도서
- 도서내검색
- 도서검색
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)