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* 순환군의 모든 부분군은 순환군임.
 
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H 가 G의 부분군이라고 하자.  a는 G의 생성원이라고 하자.
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G의 원소는 <math>a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, \cdots</math>
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따라서 각각의 원소에
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H의 원소중에서 항등원을 제외한 원소중에서
  
 
 
 
 

2009년 4월 15일 (수) 05:00 판

간단한 소개
  • 하나의 원소로 생성될 수 있는 군을 순환군(cyclic group)이라 함. 즉 모든 원소가 한 원소의 적당한 정수제곱으로 표현가능한 경우를 말함.
    • \((\mathbb Z,+)\) 의 경우는 1로 모든 원소를 생성가능하므로, 순환군임.
    • 2차원 평면의 정n각형에 대한 n개의 회전변환은 순환군임.
    • \(z^n=1\) 를 만족시키는 n개의 복소수들은 곱셈에 대하여 순환군이 됨
      • \(\zeta=e^{2\pi i \over n\) 으로 생성가능.
    • \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)\) 는 순환군임
    • \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 가 순환군이 되는 경우는 원시근(primitive root) 항목을 참조

 

 

순환군의 부분군
  • 순환군의 모든 부분군은 순환군임.

 

(증명)

H 가 G의 부분군이라고 하자.  a는 G의 생성원이라고 하자.

G의 원소는 \(a^0, a^1, a^2, a^3, a^4, \cdots\)

따라서 각각의 원소에

H의 원소중에서 항등원을 제외한 원소중에서

 

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