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* 수열의 합과 적분을 연결해주는 공식
 
* 수열의 합과 적분을 연결해주는 공식
  
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<math>\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \int^n_0f(x)\,dx+\sum_{k=1}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R</math>
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<math>\sum _{i=a}^{b-1} f(i)=\int_a^b f(x) \, dx+\frac{1}{2} (f(a)-f(b))+\frac{1}{12} \left(f'(b)-f'(a)\right)+\frac{1}{720} \left(f^{(3)}(a)-f^{(3)}(b)\right)+\frac{f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)}{30240}+\frac{f^{(7)}(a)-f^{(7)}(b)}{1209600}+\cdots</math>
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* 오차항
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<math>\sum_{i=a}^{b-1} f(i) = \int^b_a f(x)\,dx+\sum_{k=1}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)\right)+R</math>
  
 
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<math>\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx</math>
 
<math>\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx</math>
  
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<math>B_0=1</math>, <math>B_1=-{1 \over 2}</math>, <math>B_2={1\over 6}</math>, <math>B_3=0</math>, <math>B_4=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_5=0</math>, <math>B_6=\frac{1}{42}</math>, <math>B_8=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_{10}=\frac{5}{66}</math>, <math>B_{12}=-\frac{691}{2730}</math>,<math>B_{14}=\frac{7}{6}</math> 는 [[베르누이 수]]
  
 
<math>\frac{B_k}{k!}</math> 는 <math>\{1, -1/2, 1/12, 0, -1/720, 0, 1/30240, 0, -1/1209600, 0, 1/47900160, 0, -691/1307674368000, 0, 1/74724249600\}</math>
 
<math>\frac{B_k}{k!}</math> 는 <math>\{1, -1/2, 1/12, 0, -1/720, 0, 1/30240, 0, -1/1209600, 0, 1/47900160, 0, -691/1307674368000, 0, 1/74724249600\}</math>
  
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<math>\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \int^n_0f(x)\,dx-\frac{1}{2}(f(n)-f(0))+\frac{1}{12}(f'(n)-f'(0))-\frac{1}{720}(f^{(3)}(n)-f^{(3)}(0))+\frac{1}{30240}(f^{(5)}(n)-f^{(5)}(0))-\frac{1}{1209600}(f^{(7)}(n)-f^{(7)}(0))+\cdots</math>
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* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
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<h5>응용2.</h5>
  
 
 
 
 
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* [[스털링 공식]]
 
* [[스털링 공식]]
 
* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
 
* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
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<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* http://functions.wolfram.com/
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 +
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 +
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 +
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
  
 
 
 
 

2011년 12월 9일 (금) 16:24 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 수열의 합과 적분을 연결해주는 공식

\(\sum _{i=a}^{b-1} f(i)=\int_a^b f(x) \, dx+\frac{1}{2} (f(a)-f(b))+\frac{1}{12} \left(f'(b)-f'(a)\right)+\frac{1}{720} \left(f^{(3)}(a)-f^{(3)}(b)\right)+\frac{f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)}{30240}+\frac{f^{(7)}(a)-f^{(7)}(b)}{1209600}+\cdots\)

  • 오차항

\(\sum_{i=a}^{b-1} f(i) = \int^b_a f(x)\,dx+\sum_{k=1}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)\right)+R\)

여기서

\(\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx\)

\(B_0=1\), \(B_1=-{1 \over 2}\), \(B_2={1\over 6}\), \(B_3=0\), \(B_4=-\frac{1}{30}\), \(B_5=0\), \(B_6=\frac{1}{42}\), \(B_8=-\frac{1}{30}\), \(B_{10}=\frac{5}{66}\), \(B_{12}=-\frac{691}{2730}\),\(B_{14}=\frac{7}{6}\) 는 베르누이 수

\(\frac{B_k}{k!}\) 는 \(\{1, -1/2, 1/12, 0, -1/720, 0, 1/30240, 0, -1/1209600, 0, 1/47900160, 0, -691/1307674368000, 0, 1/74724249600\}\)

 

 

응용1.

 

 

응용2.

 

 

 

 

유용한 표현

\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)

단, \(f^{(-1)}(x)=\int f(x)\,dx\) 라고 쓰자.

 

 

응용

 

 

재미있는 사실
  • 오일러의 계산에 중요하게 활용되었다

 

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전자료

 

 

관련도서

 

관련논문

 

 

블로그
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