오일러-맥클로린 공식

수학노트
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개요

  • 수열의 합과 적분을 연결해주는 공식
<math>\sum _{i=a}^{b-1} f(i)=\int_a^b f(x) \, dx+\frac{1}{2} (f(a)-f(b))+\frac{1}{12} \left(f'(b)-f'(a)\right)+\frac{1}{720} \left(f^{(3)}(a)-f^{(3)}(b)\right)+\frac{f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)}{30240}+\frac{f^{(7)}(a)-f^{(7)}(b)}{1209600}+\cdots</math>
  • 오차항
<math>\sum_{i=a}^{b-1} f(i) = \int^b_a f(x)\,dx+\sum_{k=1}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)\right)+R</math>

여기서

<math>\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx</math>

<math>B_0=1</math>, <math>B_1=-{1 \over 2}</math>, <math>B_2={1\over 6}</math>, <math>B_3=0</math>, <math>B_4=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_5=0</math>, <math>B_6=\frac{1}{42}</math>, <math>B_8=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_{10}=\frac{5}{66}</math>, <math>B_{12}=-\frac{691}{2730}</math>,<math>B_{14}=\frac{7}{6}</math> 는 베르누이 수

<math>\frac{B_k}{k!}</math> 는 <math>\{1, -1/2, 1/12, 0, -1/720, 0, 1/30240, 0, -1/1209600, 0, 1/47900160, 0, -691/1307674368000, 0, 1/74724249600\}</math>



응용1.



응용2.

유용한 표현

<math>\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R</math>

단, <math>f^{(-1)}(x)=\int f(x)\,dx</math> 라고 쓰자.



응용



재미있는 사실

  • 오일러의 계산에 중요하게 활용되었다



관련된 고교수학 또는 대학수학


관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전자료


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'euler'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'maclaurin'}, {'LEMMA': 'formula'}]
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