"자연수의 약수의 합"의 두 판 사이의 차이

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2009년 11월 29일 (일) 10:49 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 자연수 \(n\)에 대하여, 1부터 n까지의 양의 정수 중에 \(n\)의 약수인 수의 합
  • \(\sigma(n)\) 으로 나타냄
    \(\sigma(n)=\sum_{d|n}d\)
  • 더 일반적으로 \(n\)의 약수인 수의 \(r\)거듭제곱의 합도 정의 됨
    \(\sigma_r(n)=\sum_{d|n}d^r\)
  • 곱셈에 대하여 좋은 성질을 가짐
  • 분할수에 대한 연구에서 자연스럽게 등장함
  • 모듈라 형식(modular forms)인 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)의 계수로 나타남

 

 

성질
  • 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\sigma(mn)=\sigma(m)\sigma(n)\)
  • 소수 \(p\) 에 대하여,  \(\sigma(p^{k}) = \frac{p^{k+1}-1}{p-1}\)

 

 

점화식

(정리)

\(\sigma(k)\)은 다음 공식을 만족한다.

\(k\)가 오각수가 아닌 경우

\(\sigma(k) =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots\)

\(k\)가 오각수 즉 \(k=\frac{j(3j\pm 1)}{2}\) 꼴로 주어진 경우

\(\sigma(k) + (-1)^{j}k =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots\)

 

(증명)

생성함수를 다음과 같이 두자.

\(A(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n\)

오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)의 증명과정에서 얻어진 다음 등식을 활용하자.

\(f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}}\right) \left(1 - x^{3m-2}}\right)\)

위의 우변에 로그미분을 취한 다음 \(-x\)를 곱하면,

\(-x\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{3mx^{3m}}{1-x^{3m}}+\frac{(3m-1)x^{3m-1}}{1-x^{3m-1}}+\frac{(3m-2)x^{3m-2}}{1-x^{3m-2}}=A(x)\)

따라서

\(A(x)f(x)=-xf'(x)\)를 얻는다. 

\(A(x)f(x)=(\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n)(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)\)  이므로

\(x^k\)의 계수는 \(\sigma(k)-(\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots)\) 로 주어진다.

한편, 

\(-xf'(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^{k+1}\frac{k(3k-1)}{2}x^{k(3k-1)/2}\)  ■

 

  • 오각수가 아닌 경우의 예
    • \(\sigma(10)=18\)
    • \(\sigma(9) + \sigma(8)-\sigma(5)-\sigma(3)=13+15-6-4=18\)
    • \(\sigma(20)=42\)
    • \(\sigma(19) + \sigma(18)-\sigma(15)-\sigma(13)+\sigma(8)+\sigma(5)=20+39-24-14+15+6=42\)
  • 오각수인 경우의 예
    • \(\sigma(5)+5=6+5=11\)
    • \(\sigma(4) + \sigma(3)=7+4=11\)
    • \(\sigma(12)-12=28-12=16\)
    • \(\sigma(11) + \sigma(10)-\sigma(7)-\sigma(5)=12+18-8-6=16\)
  • 분할수의 점화식과의 유사성을 눈여겨볼 것
    \(p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\)

 

 

 

100까지 자연수의 약수의 합 목록
  • \(n\)과 \(\sigma(n)\)의 값

1    1
2    3
3    4
4    7
5    6
6    12
7    8
8    15
9    13
10    18
11    12
12    28
13    14
14    24
15    24
16    31
17    18
18    39
19    20
20    42
21    32
22    36
23    24
24    60
25    31
26    42
27    40
28    56
29    30
30    72
31    32
32    63
33    48
34    54
35    48
36    91
37    38
38    60
39    56
40    90
41    42
42    96
43    44
44    84
45    78
46    72
47    48
48    124
49    57
50    93
51    72
52    98
53    54
54    120
55    72
56    120
57    80
58    90
59    60
60    168
61    62
62    96
63    104
64    127
65    84
66    144
67    68
68    126
69    96
70    144
71    72
72    195
73    74
74    114
75    124
76    140
77    96
78    168
79    80
80    186
81    121
82    126
83    84
84    224
85    108
86    132
87    120
88    180
89    90
90    234
91    112
92    168
93    128
94    144
95    120
96    252
97    98
98    171
99    156
100    217

 

 

 

 

 

 

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