자코비의 네 제곱수 정리

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• 자코비의 네 제곱수 정리
  

 

 

개요

• 라그랑지의 네 제곱수 정리는 모든 자연수는 네 개의 제곱수의 합으로 표현가능함을 말해준다
  
• 자코비는 세타함수 를 이용하여 주어진 자연수가  네 개의 제곱수의 합으로 얼마나 많은 방법으로 표현가능한지의 문제를 해결
  \(\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}\), \(q=e^{2\pi i \tau}\)
  
• \(x=e^{\pi i \tau}\) 로 두면,
  \(\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}\)
  \(\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\)
  여기서 \(r_4(n)\) 는 \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n\)의 정수해 \((x_1,x_2,x_3,x_4)\)의 개수, 즉 자연수 \(n\)을 네 정수의 제곱의 합으로 쓰는 방법의 수
  

 

 

정리

(정리) 자코비의 네제곱수 정리

\(r_4(n)=8\sum_{m|n,4\nmid m}m\)

 

 

예

• \(r_4(1)=8\)
  \((\pm1)^2+0^2+0^2+0^2=1\)이므로 
  \(2\times {4\choose 1}=8\)
  
• \(r_4(2)=24\)
  \((\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2+0^2=2\)
  ... 으로부터
  \(4\times {4\choose 2}=24\)
  
• \(r_4(3)=32\)
  \((\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2=3\)
   
  ... 으로부터
  \(8\times {4\choose 1}=32\)
  

 

• \(r_4(4)=24\)
  \((\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2=(\pm2)^2+0^2+0^2+0^2=4\)
  ... 으로부터
  \(16+2 \times {4\choose 1}=24\)
  

 

 

증명

\(\theta^4(q)=(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)q^n\)

\(A(q)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mq^m}{1-q^m}=\sum_{m=1}^{\infty}{mq^m}(1+q^m+q^{2m}+\cdots)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)q^n\)

여기서 \(\sigma(n)\) 에 대해서는 자연수의 약수의 합 항목 참조.

\(B(q)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(1+(-1)^m)}{2}\cdot \frac{2mq^{2m}}{1-q^{2m}}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(1+(-1)^m)}{2}\cdot{2mq^{2m}}(1+q^{2m}+q^{4m}+\cdots)=\sum_{m=1,n=1}^{\infty}m(1+(-1)^m){q^{2mn}}= \sum_{n=1}^{\infty}(\sum_{d|n,4|d}d)q^n\)

\(\theta^4(q)=1+8A(q)-8B(q)\) 를 증명하면, 된다. 

 

 

\(\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)\)

 

재미있는 사실

 

• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

 

 

관련된 항목들

• 라그랑지의 네 제곱수 정리
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• 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
  
• 자연수의 약수의 합
  
• 자코비 세타함수
  

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/

 

관련도서 및 추천도서

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관련기사

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