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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
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* [[정규분포와 그 확률밀도함수]]
 
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<h5>개요</h5>
 
  
 
* 고교 과정의 통계에서는 정규분포의 기본적인 성질과 정규분포표 읽는 방법을 배움.
 
* 고교 과정의 통계에서는 정규분포의 기본적인 성질과 정규분포표 읽는 방법을 배움.
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*  평균이 <math>\mu</math>, 표준편차가 <math>\sigma</math>인 정규분포의  <math>N(\mu,\sigma^2)</math>의 확률밀도함수, 즉 가우시안은 다음과 같음이 알려져 있음.<br><math>\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)</math><br>
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*  평균이 <math>\mu</math>, 표준편차가 <math>\sigma</math>인 정규분포의  <math>N(\mu,\sigma^2)</math>의 확률밀도함수, 즉 가우시안은 다음과 같음이 알려져 있음.<br><math>\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\r ight)</math><br>
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* 아래에서는 이 확률밀도함수가 어떻게 해서 얻어지는가를 보임.(기본적으로는 가우스의 증명)
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* 아래에서는 이 확률밀도함수가 어떻게 해서 얻어지는가를 보임.(기본적으로는 가우스의 증명)
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* 가우시안의 형태를 얻는 또다른 방법으로 [[드무아브르-라플라스 중심극한정리]] 를 참조.
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* 가우시안의 형태를 얻는 또다른 방법으로 [[드무아브르-라플라스 중심극한정리]] 를 참조.
  
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<h5>'오차의 법칙'을 통한 가우시안의 유도</h5>
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=='오차의 법칙'을 통한 가우시안의 유도==
  
 
* 오차 = 관측하려는 실제값 - 관측에서 얻어지는 값
 
* 오차 = 관측하려는 실제값 - 관측에서 얻어지는 값
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*  오차의 분포를 기술하는 확률밀도함수 <math>\Phi</math>는 다음과 같은 성질을 만족시켜야 함.<br> 1) <math>\Phi(x)=\Phi(-x)</math><br> 2)작은 오차가 큰 오차보다 더 나타날 확률이 커야한다. 그리고 매우 큰 오차는 나타날 확률이 매우 작아야 한다.<br> 3) <math>\int_{-\infty}^{\infty} \Phi(x)\,dx=1</math><br> 4) 관측하려는 실제값이 <math>\mu</math> 이고, n 번의 관측을 통해 <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math> 을 얻을 확률 <math>\Phi(\mu-x_1)\Phi(\mu-x_2)\cdots\Phi(\mu-x_n)</math>의 최대값은 <math>\mu=\frac{x_1+x_2+ \cdots+ x_n}{n}</math>에서 얻어진다.<br>
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*  오차의 분포를 기술하는 확률밀도함수 <math>\Phi</math>는 다음과 같은 성질을 만족시켜야 함.<br> 1) <math>\Phi(x)=\Phi(-x)</math><br> 2)작은 오차가 큰 오차보다 더 나타날 확률이 커야한다. 그리고 매우 큰 오차는 나타날 확률이 매우 작아야 한다.<br> 3) <math>\int_{-\infty}^{\infty} \Phi(x)\,dx=1</math><br> 4) 관측하려는 실제값이 <math>\mu</math> 이고, n 번의 관측을 통해 <math>x_ 1, x_ 2, \cdots, x_n</math> 을 얻을 확률 <math>\Phi(\mu-x_ 1)\Phi(\mu-x_ 2)\cdots\Phi(\mu-x_n)</math>의 최대값은 <math>\mu=\frac{x_ 1+x_ 2+ \cdots+ x_n}{n}</math>에서 얻어진다.<br>
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* 4번 조건을 가우스의 산술평균의 법칙이라 부르며, 관측에 있어 실제값이 될 개연성이 가장 높은 값은 관측된 값들의 산술평균이라는 가정을 하는 것임.
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* 4번 조건을 가우스의 산술평균의 법칙이라 부르며, 관측에 있어 실제값이 될 개연성이 가장 높은 값은 관측된 값들의 산술평균이라는 가정을 하는 것임.
  
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(정리) 가우스
 
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이 조건들을 만족시키는 확률밀도함수는 <math>\Phi(x)=\frac{h}{\sqrt{\pi}}e^{-h^2x^2}</math> 형태로 주어진다. 여기서 <math>h</math>는 확률의 정확도와 관련된 값임. (실제로는 표준편차와 연관되는 값)
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이 조건들을 만족시키는 확률밀도함수는 <math>\Phi(x)=\frac{h}{\sqrt{\pi}}e^{-h^2x^2}</math> 형태로 주어진다. 여기서 <math>h</math>는 확률의 정확도와 관련된 값임. (실제로는 표준편차와 연관되는 값)
  
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(증명)
 
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<math>n=3</math>인 경우에 4번 조건을 만족시키는 함수를 찾아보자.
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<math>\Phi(x-x_1)\Phi(x-x_2)\Phi(x-x_3)</math>의 최대값은 <math>x=\frac{x_1+x_2+ x_3}{3}</math> 에서 얻어진다.
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<math>\Phi(x-x_ 1)\Phi(x-x_ 2)\Phi(x-x_ 3)</math>의 최대값은 <math>x=\frac{x_ 1+x_ 2+ x_ 3}{3}</math> 에서 얻어진다.
  
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따라서 <math>\ln \Phi(x-x_1)\Phi(x-x_2)\Phi(x-x_3)</math> 의 최대값도 <math>x=\frac{x_1+x_2+ x_3}{3}</math> 에서 얻어진다.
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따라서 <math>\ln \Phi(x-x_ 1)\Phi(x-x_ 2)\Phi(x-x_ 3)</math> 의 최대값도 <math>x=\frac{x_ 1+x_ 2+ x_ 3}{3}</math> 에서 얻어진다.
  
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미분적분학의 결과에 의해,  <math>x=\frac{x_1+x_2+ x_3}{3}</math> 이면,  <math>\frac{\Phi'(x-x_1)}{\Phi(x-x_1)}+\frac{\Phi'(x-x_2)}{\Phi(x-x_2)}+\frac{\Phi'(x-x_3)}{\Phi(x-x_3)}=0</math> 이어야 한다. 
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미분적분학의 결과에 의해, <math>x=\frac{x_ 1+x_ 2+ x_ 3}{3}</math> 이면, <math>\frac{\Phi'(x-x_ 1)}{\Phi(x-x_ 1)}+\frac{\Phi'(x-x_ 2)}{\Phi(x-x_ 2)}+\frac{\Phi'(x-x_ 3)}{\Phi(x-x_ 3)}=0</math> 이어야 한다.  
  
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<math>F(x)=\frac{\Phi'(x)}{\Phi(x)}</math> 으로 두자.
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이제 적당한 상수 <math>B, h</math> 에 의해 <math>\Phi(x)=Be^{-h^2x^2}</math> 꼴로 쓸 수 있다. 
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모든 <math>n</math>에 대하여 4번조건이 만족됨은 쉽게 확인할 수 있다. (증명끝)
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* 중심극한정리는 여러 과정을 거쳐 발전
 
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** 드무아브르가 18세기에 발견한 것은 이항분포에서 확률이 1/2인 경우
 
** 드무아브르가 18세기에 발견한 것은 이항분포에서 확률이 1/2인 경우
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** [[드무아브르-라플라스 중심극한정리]] 의 유도는 해당 항목을 참조.
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** [[드무아브르-라플라스 중심극한정리]] 의 유도는 해당 항목을 참조.
 
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
  
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<h5>재미있는 사실</h5>
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==재미있는 사실==
  
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* 정규분포와 중심극한정리에 대한 이해는 교양인이 알아야 할 수학 주제의 하나나
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* 정규분포와 중심극한정리에 대한 이해는 교양인이 알아야 할 수학 주제의 하나나
 
*  Galton's quincunx<br>
 
*  Galton's quincunx<br>
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** 정규분포의 밀도함수 형태를 물리적으로 얻을 수 있는 장치.
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** 정규분포의 밀도함수 형태를 물리적으로 얻을 수 있는 장치.
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*  예전 독일 마르크화에는 가우스의 발견을 기려 정규분포곡선이 새겨짐<br>[/pages/1950958/attachments/1448292 Gauss-detail2.jpg]<br>
  
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2012년 9월 24일 (월) 03:59 판

개요

  • 고교 과정의 통계에서는 정규분포의 기본적인 성질과 정규분포표 읽는 방법을 배움.
  • 평균이 \(\mu\), 표준편차가 \(\sigma\)인 정규분포의 \(N(\mu,\sigma^2)\)의 확률밀도함수, 즉 가우시안은 다음과 같음이 알려져 있음.
    \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\r ight)\)
  • 아래에서는 이 확률밀도함수가 어떻게 해서 얻어지는가를 보임.(기본적으로는 가우스의 증명)
  • 가우시안의 형태를 얻는 또다른 방법으로 드무아브르-라플라스 중심극한정리 를 참조.



'오차의 법칙'을 통한 가우시안의 유도

  • 오차 = 관측하려는 실제값 - 관측에서 얻어지는 값
  • 오차의 분포를 기술하는 확률밀도함수 \(\Phi\)는 다음과 같은 성질을 만족시켜야 함.
    1) \(\Phi(x)=\Phi(-x)\)
    2)작은 오차가 큰 오차보다 더 나타날 확률이 커야한다. 그리고 매우 큰 오차는 나타날 확률이 매우 작아야 한다.
    3) \(\int_{-\infty}^{\infty} \Phi(x)\,dx=1\)
    4) 관측하려는 실제값이 \(\mu\) 이고, n 번의 관측을 통해 \(x_ 1, x_ 2, \cdots, x_n\) 을 얻을 확률 \(\Phi(\mu-x_ 1)\Phi(\mu-x_ 2)\cdots\Phi(\mu-x_n)\)의 최대값은 \(\mu=\frac{x_ 1+x_ 2+ \cdots+ x_n}{n}\)에서 얻어진다.
  • 4번 조건을 가우스의 산술평균의 법칙이라 부르며, 관측에 있어 실제값이 될 개연성이 가장 높은 값은 관측된 값들의 산술평균이라는 가정을 하는 것임.


(정리) 가우스

이 조건들을 만족시키는 확률밀도함수는 \(\Phi(x)=\frac{h}{\sqrt{\pi}}e^{-h^2x^2}\) 형태로 주어진다. 여기서 \(h\)는 확률의 정확도와 관련된 값임. (실제로는 표준편차와 연관되는 값)


(증명)

\(n=3\)인 경우에 4번 조건을 만족시키는 함수를 찾아보자.

\(\Phi(x-x_ 1)\Phi(x-x_ 2)\Phi(x-x_ 3)\)의 최대값은 \(x=\frac{x_ 1+x_ 2+ x_ 3}{3}\) 에서 얻어진다.

따라서 \(\ln \Phi(x-x_ 1)\Phi(x-x_ 2)\Phi(x-x_ 3)\) 의 최대값도 \(x=\frac{x_ 1+x_ 2+ x_ 3}{3}\) 에서 얻어진다.

미분적분학의 결과에 의해, \(x=\frac{x_ 1+x_ 2+ x_ 3}{3}\) 이면, \(\frac{\Phi'(x-x_ 1)}{\Phi(x-x_ 1)}+\frac{\Phi'(x-x_ 2)}{\Phi(x-x_ 2)}+\frac{\Phi'(x-x_ 3)}{\Phi(x-x_ 3)}=0\) 이어야 한다.

\(F(x)=\frac{\Phi'(x)}{\Phi(x)}\) 으로 두자.

\(x+y+z=0\) 이면, \(F(x)+F(y)+F(z)=0\) 이어야 한다.

1번 조건에 의해, \(F\) 는 기함수이다.

따라서 모든 \(x,y\) 에 의해서, \(F(x+y)=F(x)+F(y)\) 가 성립한다. 그러므로 \(F(x)=Ax\) 형태로 쓸수 있다.

이제 적당한 상수 \(B, h\) 에 의해 \(\Phi(x)=Be^{-h^2x^2}\) 꼴로 쓸 수 있다.

모든 \(n\)에 대하여 4번조건이 만족됨은 쉽게 확인할 수 있다. (증명끝)


역사

  • 중심극한정리는 여러 과정을 거쳐 발전
  • 이항분포의 중심극한 정리
    • 라플라스의 19세기 초기 버전

확률변수 X가 이항분포 B(n,p)를 따를 때, n이 충분히 크면 X의 분포는 근사적으로 정규분포 N(np,npq)를 따른다



메모



재미있는 사실

  • 정규분포와 중심극한정리에 대한 이해는 교양인이 알아야 할 수학 주제의 하나나
  • Galton's quincunx
    • 정규분포의 밀도함수 형태를 물리적으로 얻을 수 있는 장치.

[[Media:|Media:]]

  • 예전 독일 마르크화에는 가우스의 발견을 기려 정규분포곡선이 새겨짐
    [/pages/1950958/attachments/1448292 Gauss-detail2.jpg]



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