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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">체(field)의 정의</h5>
 
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*  집합 <math>\mathbb{F}</math><br>
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*  집합 F에 더하기(+), 곱하기(·) 연산이 정의되어 있으며, 0과 1이라는 원소가 있어<br><math><\mathbb{F}, +, \cdot, 0,1></math><br>
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2010년 2월 1일 (월) 18:06 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 사칙연산을 할 수 있는 대수적 구조
  • 실수, 복소수, 유한체, p-adic 체, function field 등

 

 

체(field)의 정의
  • 집합 F에 더하기(+), 곱하기(·) 연산이 정의되어 있으며, 0과 1이라는 원소가 있어
    \(<\mathbb{F}, +, \cdot, 0,1>\)
  •  

 

 

 

체확장

 

 

 

거듭제곱근 체확장(radical extension)
  • 기본체 \(F=R_0\)
  • 적당한 원소 \(a_0 \in R_0\)와 자연수 \(n_0\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
  • 적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 자연수 \(n_1\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
  • 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 거듭제곱근 체확장이라 한다
  • 정다각형의 작도, 5차방정식과 근의 공식 에서 중요하게 사용되는 개념이다

 

 

 

다항식과 갈루아체확장
  • (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
  • 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에서 정의된 다항식 \(x^3-2=0\)
  • 해는 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 세 개가 존재
  • 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\)를 집어넣으면 유리수체의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\) 를 얻음
  • 이 때, 체 \(K\)는 유리수체 \(\mathbb{Q}\)위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 \([K : \mathbb{Q}]=6\)이 됨

 

 

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