"체론(field theory)"의 두 판 사이의 차이

2010년 2월 1일 (월) 18:11 판

체 \(<\mathbb{F}, +, \cdot, 0,1>\)
집합 F와 더하기(+), 곱하기(·) 연산이 정의되어 있으며, 0과 1이라는 원소가 있어, 다음과 같은 조건을 만족시킴
\((\mathbb{F}, +)\)는 아벨군이며 0은 항등원이다. 즉 덧셈에 대한 아벨군을 이룬다.
\((\mathbb{F}^{*}, \cdot)\)는 아벨군이며 1은 항등원이다. 여기서 \(\mathbb{F}^{*}\)은 0을 제외한 원소들의 집합.
더하기와 곱하기는 분배법칙을 만족시킨다. 즉, 모든 원소 \(a,b,c\in \mathbb{F}\)에 대하여

기본체 \(F=R_0\)
적당한 원소 \(a_0 \in R_0\)와 자연수 \(n_0\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 자연수 \(n_1\)에 대하여, 거듭제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 추가하여 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 거듭제곱근 체확장이라 한다
정다각형의 작도, 5차방정식과 근의 공식 에서 중요하게 사용되는 개념이다

(기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
유리수체 \(\mathbb{Q}\)에서 정의된 다항식 \(x^3-2=0\)
해는 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 세 개가 존재
유리수체 \(\mathbb{Q}\)에 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\)를 집어넣으면 유리수체의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\) 를 얻음
이 때, 체 \(K\)는 유리수체 \(\mathbb{Q}\)위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 \([K : \mathbb{Q}]=6\)이 됨

@@ 16번째 줄: / 16번째 줄: @@
 <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">체(field)의 정의</h5>
-*  집합 F에 더하기(+), 곱하기(·) 연산이 정의되어 있으며, 0과 1이라는 원소가 있어<br><math><\mathbb{F}, +, \cdot, 0,1></math><br>
+*  체 <math><\mathbb{F}, +, \cdot, 0,1></math> <br>
-*   <br>
+*  집합 F와 더하기(+), 곱하기(·) 연산이 정의되어 있으며, 0과 1이라는 원소가 있어, 다음과 같은 조건을 만족시킴<br><math>(\mathbb{F}, +)</math>는 아벨군이며 0은 항등원이다. 즉 덧셈에 대한 아벨군을 이룬다.<br><math>(\mathbb{F}^{*}, \cdot)</math>는 아벨군이며 1은 항등원이다. 여기서 <math>\mathbb{F}^{*}</math>은 0을 제외한 원소들의 집합.<br> 더하기와 곱하기는 분배법칙을 만족시킨다. 즉, 모든 원소 <math>a,b,c\in \mathbb{F}</math>에 대하여<br>  <br>