"클라우센 함수(Clausen function)"의 두 판 사이의 차이

2010년 7월 17일 (토) 23:25 판

정의
\(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)

dilogarithm 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
\(\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)
\(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
\(z=e^{i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때
\(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\)
\(\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)\)

\(\theta=p\pi/q\)일 때, 트리감마 함수(trigamma function)를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있\(\operatorname{Cl}_2(\frac{p\pi}{q})=\frac{1}{4q^2}\sum_{r=1}^{2q-1}\psi^{(1)}(\frac{r}{2q})\sin\frac{rp\pi}{q}\)
\(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))\)

\(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\)
\(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))\)
여기서 \(\psi^{(1)}\)는 트리감마(trigamma)함수.
\(G\)는 카탈란 상수
http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html

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 <h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">special values</h5>
-* <math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math><br><math>G</math>는 [[카탈란 상수]]<br>
+*   <br>
+* <math>\theta=p\pi/q</math>일 때, [[트리감마 함수(trigamma function)]]를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있<math>\operatorname{Cl}_2(\frac{p\pi}{q})=\frac{1}{4q^2}\sum_{r=1}^{2q-1}\psi^{(1)}(\frac{r}{2q})\sin\frac{rp\pi}{q}</math><br><math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))</math><br>
+* <math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math><br>
+*   <br><math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))</math><br> 여기서 <math>\psi^{(1)}</math>는 트리감마(trigamma)함수.<br><math>G</math>는 [[카탈란 상수]]<br>
 * http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html<br>