"클라인-고든 방정식"의 두 판 사이의 차이

2012년 7월 9일 (월) 20:40 판

슈뢰딩거 방정식 의 상대론적 일반화의 시도로부터 얻어짐
스핀-0 입자의 스칼라 장에 대한 방정식
특수 상대성 이론의 관계식 \(E^2=p^2+m^2\) 로부터 얻을 수 있다
\(\Box + m^2=\frac{\partial^2}{\partial t^2 } - \nabla^2 +m^2\)
\((\Box + m^2) \varphi = 0\)
- \((\Box + m^2) \varphi =\varphi_{tt}-\varphi_{xx}+m^2\varphi=0\)
- \((\Box + m^2) \varphi =\varphi_{tt}-\varphi_{xx}-\varphi_{yy}-\varphi_{zz}+m^2\varphi=0\)

라그랑지안 \(\mathcal{L}(\varphi) = \frac{1}{2}\{(\partial_{\mu}\varphi)^2 - m^2\varphi^2\}\) 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식
\(\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \varphi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} = 0\) 을 적용하여 얻어진다

\(\varphi(t,\vec{x})=Ae^{-i(E t-\vec{p}\cdot \vec{x})}\) 이 해가 되려면 \(E^2=m^2+\vec{P}^2\) 을 만족해야 한다

wave number k 에 대하여, \(E=k_0=\omega_k\), \(\vec{p}=\vec{k}\) 로 두자
real 스칼라 장에 대한 클라인-고든 방정식의 일반적인 푸리에 급수해는 다음과 같이 주어진다
\(\varphi(x)=\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{k}}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}+a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]\)
conjugate momentum
\(\pi(x)=\partial_{0}\varphi(x)=-i\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}}\sqrt{\frac{\omega_{k}}{2}}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}-a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]\)

클라인-고든 방정식의 해를 양자역학에서의 상대론적 파동함수로 해석할 때의 두 가지 문제점
- negative energy states 의 존재
- negative probability density
파동함수가 아닌 장 방정식으로 해석할 때 문제점이 사라진다
http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사연표

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 * wave number k 에 대하여, <math>E=k_0=\omega_k</math>, <math>\vec{p}=\vec{k}</math> 로 두자
-*  클라인-고든 방정식의 일반적인 푸리에 급수해는 다음과 같이 주어진다<br><math>\varphi(x)=\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{k}}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}+a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]</math><br>
+*  real 스칼라 장에 대한 클라인-고든 방정식의 일반적인 푸리에 급수해는 다음과 같이 주어진다<br><math>\varphi(x)=\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{k}}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}+a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]</math><br>
 *  conjugate momentum<br><math>\pi(x)=\partial_{0}\varphi(x)=-i\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}}\sqrt{\frac{\omega_{k}}{2}}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}-a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]</math><br>
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 <h5>양자화</h5>
+*  equal time commutation relations<br>
 * <math>[\hat \varphi(x),\hat{\pi}(y)] =i\delta(\vec{x}-\vec{y})</math><br>
 * <math>[\hat \varphi(x),\hat{\varphi}(y)] =0</math>
-* <math>[\hat \varphi(x),\hat{\pi}(y)] =i\delta(\vec{x}-\vec{y})</math><br>
+* <math>[\hat \pi(x),\hat{\pi}(y)] =0</math><br>