클라인-고든 방정식

이 항목의 수학노트 원문주소

• 클라인-고든 방정식

 

 

==개요

• 슈뢰딩거 방정식 의 상대론적 일반화의 시도로부터 얻어짐
• 스핀-0 입자의 스칼라 장에 대한 방정식
  
  • real 
  • complex  - charged spin zero particles
• 특수 상대성 이론의 관계식 \(E^2=p^2+m^2\) 로부터 얻을 수 있다
• \(\Box + m^2=\frac{\partial^2}{\partial t^2 } - \nabla^2 +m^2\)
• \((\Box + m^2) \varphi = 0\)
  
  • \((\Box + m^2) \varphi =\varphi_{tt}-\varphi_{xx}+m^2\varphi=0\)
  • \((\Box + m^2) \varphi =\varphi_{tt}-\varphi_{xx}-\varphi_{yy}-\varphi_{zz}+m^2\varphi=0\)

 

 

==오일러-라그랑지 방정식

• 라그랑지안 \(\mathcal{L}(\varphi) = \frac{1}{2}\{\partial_{\mu}\partial^{\mu}\varphi - m^2\varphi^2\}\)  에 대하여 오일러-라그랑지 방정식
  \(\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \varphi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} = 0\)   을 적용하여 얻어진다
  

 

 

==free particle solution

• \(\varphi(t,\vec{x})=Ae^{-i(E t-\vec{p}\cdot \vec{x})}\) 이 해가 되려면 \(E^2=m^2+\vec{P}^2\) 을 만족해야 한다

 

 

 

==푸리에 급수해

• wave number k 에 대하여, \(E=k_0=\omega_k\), \(\vec{p}=\vec{k}\) 로 두자
• real 스칼라 장에 대한 클라인-고든 방정식의 일반적인 푸리에 급수해는 다음과 같이 주어진다
  \(\varphi(x)=\int\frac{d^3 \vec{k}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_{k}}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}+a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]\)
  
  • 양자화  이후에 \(a(\vec{k})\)는 annihilation operator, \(a^{\dagger}(\vec{k})\)는 creation operator 로 불린다
• conjugate momentum
  \(\pi(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_{0} \varphi )} \right) = \frac{\partial \varphi}{\partial t} \)
  \(\pi(x)=\partial_{0}\varphi(x)=-i\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}}\sqrt{\frac{\omega_{k}}{2}}}[a(\vec{k})e^{-i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}-a^{\dagger}(\vec{k})e^{i (\omega_{k}x^{0}-\vec{k}\cdot \vec{x})}]\)
  

 

 

==양자화

• equal time commutation relations
  
• \([\hat \varphi(x),\hat{\pi}(y)] =i\delta(\vec{x}-\vec{y})\)
  
• \([\hat \varphi(x),\hat{\varphi}(y)] =0\)
• \([\hat \pi(x),\hat{\pi}(y)] =0\)
  

 

 

 

==역사

• 클라인-고든 방정식의 해를 양자역학에서의 상대론적 파동함수로 해석할 때의 두 가지 문제점
  
  • negative energy states 의 존재
  • negative probability density
• 파동함수가 아닌 장 방정식으로 해석할 때 문제점이 사라진다
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

==메모

• http://cc.oulu.fi/~tf/tiedostot/pub/kvmIII/english/2004/20_klein.pdf
• http://physics-quest.org/Book_Chapter_Klein_Gordon.pdf
• http://fias.uni-frankfurt.de/~brat/LecturesWS1011/Lecture8.pdf
• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

==관련된 항목들

• 사인-고든 방정식
• 파동 방정식

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

 

==사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Klein-Gordon_equation
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

==리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

==관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

==관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=