"엡슈타인 제타함수"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">이차형식과 L-function</h5>
 
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*  양의 정부호인 이차형식 <math>Q(X,Y)=aX^2+2bXY+cY^2</math>에 대하여 다음과 같은 함수를 정의<br><math>E(Q, s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+2bXY+cy^2)^s}</math><br>
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*  양의 정부호인 정수계수이차형식 <math>Q(X,Y)=aX^2+2bXY+cY^2</math> (즉 <math>a>0, m=b^2-ac>0</math>) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의<br><math>E_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+2bXY+cy^2)^s}</math><br>
  
 
 
 
 
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<math>E(Q, s) ={\frac{\pi}{\sqrt{m}}\frac{1}{s-1} + 2\pi\gamma+\frac{\pi}{\sqrt{m}}\ln \frac{a}{4m}-\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\eta(\tau_1)\eta(\tau_2) +O(s-1)</math>
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<math>E_Q(s) ={\frac{\pi}{\sqrt{m}}\frac{1}{s-1} + 2\pi\gamma+\frac{\pi}{\sqrt{m}}\ln \frac{a}{4m}-\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\eta(\tau_1)\eta(\tau_2) +O(s-1)</math>
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여기서 
  
 
<math>\gamma</math> 는 [[오일러상수, 감마]]
 
<math>\gamma</math> 는 [[오일러상수, 감마]]
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<math>\tau_1=\frac{b+i\sqrt{m}}{a}</math>, <math>\tau_2=\frac{-b+i\sqrt{m}}{a}</math>
 
<math>\tau_1=\frac{b+i\sqrt{m}}{a}</math>, <math>\tau_2=\frac{-b+i\sqrt{m}}{a}</math>
  
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<math>\eta(\tau)</math>는 [[데데킨트 에타함수]]
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<math>\eta(\tau)</math>는 [[데데킨트 에타함수]].
  
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<math>E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)</math>
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(따름정리)
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<math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2</math>와  <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2</math>
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<math>E_Q(s) ={\frac{\pi}{\sqrt{m}}\frac{1}{s-1} + 2\pi\gamma+\frac{\pi}{\sqrt{m}}\ln \frac{a}{4m}-\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\eta(\tau_1)\eta(\tau_2) +O(s-1)</math>
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2009년 10월 27일 (화) 09:21 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

간단한 소개

\(E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)\)

여기서

\(E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}\) , \(\tau = x + iy\) (\(y > 0\))

 

이차형식과 L-function
  • 양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+2bXY+cY^2\) (즉 \(a>0, m=b^2-ac>0\)) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의
    \(E_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+2bXY+cy^2)^s}\)

 

(정리)

\(E_Q(s) ={\frac{\pi}{\sqrt{m}}\frac{1}{s-1} + 2\pi\gamma+\frac{\pi}{\sqrt{m}}\ln \frac{a}{4m}-\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\eta(\tau_1)\eta(\tau_2) +O(s-1)\)

여기서 

\(\gamma\) 는 오일러상수, 감마

\(\tau_1=\frac{b+i\sqrt{m}}{a}\), \(\tau_2=\frac{-b+i\sqrt{m}}{a}\)

\(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수.

 

 

(따름정리)

\(Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2\)와  \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2\)

\(E_Q(s) ={\frac{\pi}{\sqrt{m}}\frac{1}{s-1} + 2\pi\gamma+\frac{\pi}{\sqrt{m}}\ln \frac{a}{4m}-\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\eta(\tau_1)\eta(\tau_2) +O(s-1)\)

 

 

 

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