"엡슈타인 제타함수"의 두 판 사이의 차이
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<math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2</math>와 <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2</math> | <math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2</math>와 <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2</math> | ||
| − | <math>E_Q(s) ={\frac{\pi}{\sqrt{m}}\frac{1}{s-1} + 2\pi\gamma+\frac{\pi}{\sqrt{m}}\ln \frac{a}{4m}-\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\eta(\tau_1)\eta(\tau_2) +O(s-1)</math> | + | <math>E_Q(s) ={\frac{\pi}{\sqrt{m}}\frac{1}{s-1} + 2\pi\gamma+\frac{\pi}{\sqrt{m}}\ln \frac{a}{4m}-\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\eta(\tau_1)\eta(\tau_2) +O(s-1)</math><math>\lim_{s\to1^{+}}E_{Q_1}-E_{Q_2}(s) = \frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}\frac{\eta(\omega_1)\eta(\omega_2)}{\eta(\tau_1)\eta(\tau_2)}\}</math> |
2009년 10월 27일 (화) 09:34 판
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간단한 소개
\(E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)\)
여기서
\(E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}\) , \(\tau = x + iy\) (\(y > 0\))
이차형식과 L-function
- 양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+2bXY+cY^2\) (즉 \(a>0, m=b^2-ac>0\)) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의
\(E_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+2bXY+cy^2)^s}\)
(정리)
\(E_Q(s) ={\frac{\pi}{\sqrt{m}}\frac{1}{s-1} + 2\pi\gamma+\frac{\pi}{\sqrt{m}}\ln \frac{a}{4m}-\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\eta(\tau_1)\eta(\tau_2) +O(s-1)\)
여기서
\(\gamma\) 는 오일러상수, 감마
\(\tau_1=\frac{b+i\sqrt{m}}{a}\), \(\tau_2=\frac{-b+i\sqrt{m}}{a}\)
\(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수.
(따름정리)
\(Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2\)와 \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2\)
\(E_Q(s) ={\frac{\pi}{\sqrt{m}}\frac{1}{s-1} + 2\pi\gamma+\frac{\pi}{\sqrt{m}}\ln \frac{a}{4m}-\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\eta(\tau_1)\eta(\tau_2) +O(s-1)\)\(\lim_{s\to1^{+}}E_{Q_1}-E_{Q_2}(s) = \frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}\frac{\eta(\omega_1)\eta(\omega_2)}{\eta(\tau_1)\eta(\tau_2)}\}\)
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- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_limit_formula
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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