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* [[린데만-바이어슈트라스 정리]] 를 써서 증명 가능
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먼저 [[린데만-바이어슈트라스 정리]] 에 의해, <math>e</math>는 초월수이다. 더 일반적으로 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다.
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we can argue that if α is a nonzero algebraic number, then {0, α} is a set of distinct algebraic numbers, and so the set {e<sup style="line-height: 1em;">0</sup>, e<sup style="line-height: 1em;">α</sup>} = {1, e<sup style="line-height: 1em;">α</sup>} is linearly independent over the algebraic numbers and in particular e<sup style="line-height: 1em;">α</sup> cannot be algebraic and so it is transcendental.
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Now, we prove that π is transcendental. If π were algebraic, 2πi would be algebraic too (since 2i is algebraic), and then by the Lindemann–Weierstrass theorem e<sup style="line-height: 1em;">2πi</sup> = 1 (see [http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula Euler's formula]) would be transcendental, which is absurd.
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B4%88%EC%9B%94%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/초월수] 
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B4%88%EC%9B%94%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/초월수]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_π_is_irrational]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_π_is_irrational]
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/transcendental_number
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/transcendental_number

2009년 6월 16일 (화) 15:53 판

증명의 개요

 

 

증명

먼저 린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해, \(e\)는 초월수이다. 더 일반적으로 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수이다.

we can argue that if α is a nonzero algebraic number, then {0, α} is a set of distinct algebraic numbers, and so the set {e0, eα} = {1, eα} is linearly independent over the algebraic numbers and in particular eα cannot be algebraic and so it is transcendental.

 

Now, we prove that π is transcendental. If π were algebraic, 2πi would be algebraic too (since 2i is algebraic), and then by the Lindemann–Weierstrass theorem e2πi = 1 (see Euler's formula) would be transcendental, which is absurd.

 

 

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