"파이 π는 초월수이다"의 두 판 사이의 차이

2012년 11월 1일 (목) 05:28 판

==증명의 개요

==증명

먼저 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수임을 증명하자.

\(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하면면 린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\) 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서 \(e^{\alpha}\) 는 초월수이다.

이제 \(\pi\)가 초월수임을 증명하자.

\(\pi\)가 만약 대수적수라면, \(2\pi i\) 도 대수적수이다. 따라서 \(e^{2\pi i} =1\) 은 초월수이다. 그러나 1은 대수적수이므로 모순■

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 * [[린데만-바이어슈트라스 정리]] 를 써서 증명 가능
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 먼저 0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수임을 증명하자.