"판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)"의 두 판 사이의 차이

2010년 8월 20일 (금) 15:53 판

\(\tau\in \mathbb H\) 에 대응되는 타원곡선 \(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)\) 의 판별식은 다음과 주어짐.
\(F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)\)
정의에 따라 \(F\)는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.
또한 cusp 형식이 됨.
\(g_2(i\infty)=\frac{4\pi^4}{3}\), \(g_3(i\infty)=\frac{8\pi^6}{27}\) 이므로,
\(F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0\)

이 함수의 \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개는
\(g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+\cdots)\) 로 주어짐.
\(g_2, g_3\)에 대해서는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) 항목을 참조

\(\Delta(\tau)=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}= q-24q+252q^2\cdots\) 를 discriminant 함수의 정의로 함.
\(\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)\) 로 표현가능

위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨
\(\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\)

데데킨트 에타함수
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,
\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,
\(\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\)

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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">라마누잔의 타우 함수</h5>
 *  discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,<br><math>\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n</math><br>
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 * <math>|\tau(p)| \leq 2p^{11/2}</math><br>
-*  1974<br>
+*  1974년 Deligne이 Weil추측을 증명함으로써 해결됨<br>
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 *  모든 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대하여 <math>\tau(n)\neq 0 </math>이다<br>
+*  미해결 무<br>