엡슈타인 제타함수

이 항목의 스프링노트 원문주소

• Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식
  

 

 

개요

• Epstein 제타함수
  \(E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}\) , \(\tau = x + iy\) (\(y > 0\))
  

• 크로네커 극한 공식
  \(E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)\)
  \(\gamma\) 는 오일러상수, 감마
  \(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수
  
• 라마누잔의 class invariants를 계산하는데 사용가능하며, 왜 실수이차체의 unit 이 등장하는지를 설명해줌
  

 

 

 

이차형식과 제타함수

•  
  
• 이차형식
   
  

• 양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2\) (즉\(a>0\),\(\Delta=b^2-4ac<0\)) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의
  \(\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}\)
  

• \(\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\) 인 경우 ( \(-\Delta=|\Delta|\) )
  \(E(\tau,s)=(\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2})^s \zeta_Q(s)\)
  \(\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})^s E(\tau,s)\)
  크로네커 극한 공식을 적용하면, 
  \(\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2))+O(s-1)\)
  \(=(\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{|\Delta|}))- \frac{2\cdot 2\pi}{\sqrt{|\Delta|}}\log \frac{|\eta(\tau)|^2}{\sqrt{2a}}+O(s-1)\)
  여기서 
  \(\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\), \(y = {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\)
   
  

 

 

(따름정리)

판별식이 같은 즉 \(m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2\) 인 두 양의정부호 이차형식 \(Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2\)와  \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2\) 에 대하여,

\(\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\} =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\}\)이 성립한다.

여기서 

\(\tau=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}\), \(\omega=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}\)

 

 

 

라마누잔 class invariants 와의 관계

\(Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2\)와 \(Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2\), \(m=2ac\)에 대하여 위의 따름정리를 적용하면, 

\(\tau=i\sqrt\frac[[:틀:2c]]{a}\), \(\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}\)

\(\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{a}{2a}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}|\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}\)

•  
  여기서 
  \(g_n:=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}\)
  \(\tau=i\sqrt{n}=i\sqrt{\frac{2c}{a}}\) 인 경우
  
• 라마누잔의 class invariants 참조
  

 

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

 

 

관련된 항목들

• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
  
• 모든 자연수의 곱과 리만제타함수
  
• Chowla-셀베르그 공식
  

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Epstein_zeta_function
• http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_limit_formula
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://mathworld.wolfram.com/EpsteinZetaFunction.html
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• A Proof of the Classical Kronecker Limit Formula
  
  • Takuro SHINTANI. Source: Tokyo J. of Math. Volume 03, Number 2 (1980), 191-199
    

• A systematic approach to the evaluation of Σ (m,n>0)(am2+bmn+cn2)-s
  
  • I J Zucker et al 1976 J. Phys. A: Math. Gen. 9 1215-1225
    
• On Epstein's Zeta-function
  
  • S. Chowla; A. Selberg, J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967
    
• On Epstein's Zeta Function (I)
  
  • S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
• On Epstein's Zeta Function
  
  • Max F. Deuring, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/