"프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리"의 두 판 사이의 차이

2012년 7월 20일 (금) 11:59 판

density 정리란 prime ideal (또는 주어진 다항식 mod p) 의 분해와 프로베니우스 원소(혹은 아틴 심볼)의 cycle 구조와의 관계와 그 비율에 관한 정리.
갈루아 체확장 L/K

prime ideal과 cycle type의 관계
The set of primes p modulo which a monic integral, irreducible polynomial f has a given decomposition type \(n_1,n_2,\cdots,n_r\) has density equal to N/O(Gal(f)) where
\(N =|\{a \in \operatorname{Gal}(f) : \sigma\text{ has a cycle pattern } n_l,n_2,\cdots,n_r\}|.\)

prime ideal과 conjugacy class의 관계
- 프로베니우스의 정리보다 더 강력함
- There are cases where cycle types are same but the conjugacy classes are different

\(\zeta_n\)는 primitive n-단위근이고 \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)라 하자.

\(\wp \subset K\) 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자.

소수 p에 대한 아틴 심볼은 \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 를 만족시키는 \(\sigma_p \in \text{Gal}(K/\mathbb Q)\) 로 정의된다.

p의 분해는 아틴 심볼의 cycle 구조를 통해서 알 수 있다.

한편 \(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다.

따라서 체보타레프 정리에 의해 디리클레 정리가 증명된다.

@@ 28번째 줄: / 28번째 줄: @@
 *  prime ideal과 conjugacy class의 관계<br>
-*
 ** 프로베니우스의 정리보다 더 강력함
 ** There are cases where cycle types are same but the conjugacy classes are different
+*
@@ 56번째 줄: / 58번째 줄: @@
 <h5>메모</h5>
-* http://www.mat.uniroma3.it/scuola_orientamento/alumni/laureati/pesiri/sintesi.pdf
+* http://www.mat.uniroma3.it/scuola_orientamento/alumni/laureati/pesiri/sintesi.pdf  40~41p
@@ 96번째 줄: / 98번째 줄: @@
 * [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]
 * [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]]
+* [[유한체에서 정수계수 다항식의 분해(코드)]]
@@ 103번째 줄: / 108번째 줄: @@
 <h5>관련도서</h5>
-* [http://www.springerlink.com/content/q24101/?p=d8bd978aaebc44bbb85ea3fca8b56fe9&pi=0 Field Arithmetic]<br>
+*  M.D. Fried, [http://www.springerlink.com/content/q24101/?p=d8bd978aaebc44bbb85ea3fca8b56fe9&pi=0 Field Arithmetic]<br>
-** M.D. Fried
 ** chapter 6. [http://www.springerlink.com/content/px3637176w5h5542/ The Chebotarev Density Theorem]
 * http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=