"프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리"의 두 판 사이의 차이
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* density 정리란 prime ideal (또는 주어진 다항식 mod p) 의 분해와 프로베니우스 원소(혹은 아틴 심볼)의 cycle 구조와의 관계와 그 비율에 관한 정리. | * density 정리란 prime ideal (또는 주어진 다항식 mod p) 의 분해와 프로베니우스 원소(혹은 아틴 심볼)의 cycle 구조와의 관계와 그 비율에 관한 정리. | ||
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<math>\zeta_n</math>는 primitive n-단위근이고 <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math>라 하자. | <math>\zeta_n</math>는 primitive n-단위근이고 <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math>라 하자. | ||
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* http://www.mat.uniroma3.it/scuola_orientamento/alumni/laureati/pesiri/sintesi.pdf 40~41p | * http://www.mat.uniroma3.it/scuola_orientamento/alumni/laureati/pesiri/sintesi.pdf 40~41p | ||
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* M.D. Fried, [http://www.springerlink.com/content/q24101/?p=d8bd978aaebc44bbb85ea3fca8b56fe9&pi=0 Field Arithmetic]<br> | * M.D. Fried, [http://www.springerlink.com/content/q24101/?p=d8bd978aaebc44bbb85ea3fca8b56fe9&pi=0 Field Arithmetic]<br> | ||
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* [http://www.springerlink.com/content/b66l342427127596/ ][http://www.springerlink.com/content/b66l342427127596/ Frobenius and his Density theorem for primes] B. Sury, Springer India, Volume 8, Number 12 / 2003년 12월<br> | * [http://www.springerlink.com/content/b66l342427127596/ ][http://www.springerlink.com/content/b66l342427127596/ Frobenius and his Density theorem for primes] B. Sury, Springer India, Volume 8, Number 12 / 2003년 12월<br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 13:17 판
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개요
- density 정리란 prime ideal (또는 주어진 다항식 mod p) 의 분해와 프로베니우스 원소(혹은 아틴 심볼)의 cycle 구조와의 관계와 그 비율에 관한 정리.
- 갈루아 체확장 L/K
프로베니우스의 밀도 정리
- prime ideal과 cycle type의 관계
- The set of primes p modulo which a monic integral, irreducible polynomial f has a given decomposition type \(n_1,n_2,\cdots,n_r\) has density equal to N/O(Gal(f)) where
\(N =|\{a \in \operatorname{Gal}(f) : \sigma\text{ has a cycle pattern } n_l,n_2,\cdots,n_r\}|.\)
체보타레프의 밀도 정리
- prime ideal과 conjugacy class의 관계
- 프로베니우스의 정리보다 더 강력함
- There are cases where cycle types are same but the conjugacy classes are different
- (정리) 체보타레프
\(f(x)\in\mathbb{Z}[x]\) 는 갈루아군이 G인 기약다항식이라 하자.
Let C be a fixed conjugacy class of elements of G. Let S be the set of primes p whose Artin symbol \(\sigma_{p}\) equals C.
Then S has a density, and \(\delta(S)=\frac{|C|}{|G|}\)
밀도 정리를 통한 디리클레 정리의 유도
\(\zeta_n\)는 primitive n-단위근이고 \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)라 하자.
\(\wp \subset K\) 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자.
소수 p에 대한 아틴 심볼은 \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 를 만족시키는 \(\sigma_p \in \text{Gal}(K/\mathbb Q)\) 로 정의된다.
p의 분해는 아틴 심볼의 cycle 구조를 통해서 알 수 있다.
한편 \(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다.
따라서 체보타레프 정리에 의해 디리클레 정리가 증명된다.
메모
역사
- 1880 프로베니우스의 밀도 정리
- 1922 체보타레프의 밀도 정리
- 1927 아틴 상호 법칙
- 수학사연표
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 대학원 과목
관련된 항목들
관련도서
- M.D. Fried, Field Arithmetic
- chapter 6. The Chebotarev Density Theorem
- http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
위키링크
- http://en.wikipedia.org/wiki/Chebotarev's_density_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/Frobenius_element
- http://en.wikipedia.org/wiki/
관련논문
- [1]Frobenius and his Density theorem for primes B. Sury, Springer India, Volume 8, Number 12 / 2003년 12월
- The Chebotarev Density Theorem Hendrik Lenstra
- Chebotarev and his density theorem P. Stevenhagen and H. W. Lenstra, Jr
- What is a Reciprocity Law? B. F. Wyman ,The American Mathematical Monthly, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586
\(N =|\{a \in \operatorname{Gal}(f) : \sigma\text{ has a cycle pattern } n_l,n_2,\cdots,n_r\}|.\)
- 프로베니우스의 정리보다 더 강력함
- There are cases where cycle types are same but the conjugacy classes are different
- chapter 6. The Chebotarev Density Theorem