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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
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* [[황금비]]<br><math>\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}}=\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots</math><br> | * [[황금비]]<br><math>\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}}=\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots</math><br> | ||
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| − | ==라마누잔이 제시한 문제 | + | ==라마누잔이 제시한 문제== |
* <math>\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\cdots}}}}} = 3</math><br> | * <math>\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\cdots}}}}} = 3</math><br> | ||
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| − | ==증명 | + | ==증명== |
먼저 수렴성을 증명하자. 다음과 같이 정의된 수열 | 먼저 수렴성을 증명하자. 다음과 같이 정의된 수열 | ||
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| − | ==수열의 크기 변화를 나타내는 그래프 | + | ==수열의 크기 변화를 나타내는 그래프== |
<math>1,\sqrt{1+2 },\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 }},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 }}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 }}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 }}}}}, \cdots</math> | <math>1,\sqrt{1+2 },\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 }},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 }}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 }}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 }}}}}, \cdots</math> | ||
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| − | ==매쓰매티카 코드 | + | ==매쓰매티카 코드== |
# f[n_][x_]:=Sqrt[1+n*x]<br> a[1][x_]:=x<br> a[n_][x_]:=Composition[a[n-1],f[n]][x]<br> Table[a[n][x],{n,1,6}]<br> DiscretePlot[a[n][1],{n,1,50}] | # f[n_][x_]:=Sqrt[1+n*x]<br> a[1][x_]:=x<br> a[n_][x_]:=Composition[a[n-1],f[n]][x]<br> Table[a[n][x],{n,1,6}]<br> DiscretePlot[a[n][1],{n,1,50}] | ||
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| − | ==메모 | + | ==메모== |
* [http://www.dgp.toronto.edu/%7Emjmcguff/math/nestedRadicals.pdf http://www.dgp.toronto.edu/~mjmcguff/math/nestedRadicals.pdf] | * [http://www.dgp.toronto.edu/%7Emjmcguff/math/nestedRadicals.pdf http://www.dgp.toronto.edu/~mjmcguff/math/nestedRadicals.pdf] | ||
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| − | ==관련된 항목들 | + | ==관련된 항목들== |
* [[연분수와 유리수 근사|연분수]] | * [[연분수와 유리수 근사|연분수]] | ||
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| − | ==표준적인 도서 및 추천도서 | + | ==표준적인 도서 및 추천도서== |
* Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000. | * Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000. | ||
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| − | ==관련논문 | + | ==관련논문== |
* Ramanujan, S. Question No. 298. J. Indian Math. Soc. 1911. | * Ramanujan, S. Question No. 298. J. Indian Math. Soc. 1911. | ||
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| − | ==사전형태의 참고자료 | + | ==사전형태의 참고자료== |
* http://en.wikipedia.org/wiki/Nested_radical | * http://en.wikipedia.org/wiki/Nested_radical | ||
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| − | ==블로그 | + | ==블로그== |
* [http://hshin.info/173 Ramanujan's infinitely nested radicals problem][http://hshin.info/173 ]<br> | * [http://hshin.info/173 Ramanujan's infinitely nested radicals problem][http://hshin.info/173 ]<br> | ||
** [http://hshin.info/ New Start, Ens!] , 2009-1-16<br> <br> <br> | ** [http://hshin.info/ New Start, Ens!] , 2009-1-16<br> <br> <br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 09:02 판
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요
- 황금비
\(\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}}=\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\)
- 비에타의 공식
\(\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots\)
- nested radical 상수
\(\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4+\sqrt{5+\sqrt{6+\cdots}}}}}}=1.75793275661800453270881963821820816125\cdots\)
- 삼각함수의 값
\(\cos \frac{\pi}{32}=\cos\frac{\pi}{2^5}= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}\)
\(\cos \frac{\pi}{64}=\cos\frac{\pi}{2^6}= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2}\)
라마누잔이 제시한 문제
- \(\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\cdots}}}}} = 3\)
- 다음 수열의 극한
\(1,\sqrt{1+2 },\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 }},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 }}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 }}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 }}}}}, \cdots\)
증명
먼저 수렴성을 증명하자. 다음과 같이 정의된 수열
\(1,\sqrt{1+2 },\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 }},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 }}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 }}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 }}}}}, \cdots\) 은 위로 유계이다.
\(\sqrt{1+2 \sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+ (n-1)\sqrt{1+n} }}} \leq \sqrt{1+2 \sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+ (n-1)\sqrt{1+n(n+2)} }}}=3\)
\(n=\sqrt{1+(n-1)(n+1)}\)을 이용
\(\begin{eqnarray*}3 &=& \sqrt{1+2\cdot4}\\ &=& \sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot5}}\\ &=& \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot6}}}\\ &=& \cdots\end{eqnarray*}\)
수열의 크기 변화를 나타내는 그래프
\(1,\sqrt{1+2 },\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 }},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 }}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 }}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 }}}}}, \cdots\)
[/pages/2529712/attachments/2586699 nested_radicals.jpg]
매쓰매티카 코드
- f[n_][x_]:=Sqrt[1+n*x]
a[1][x_]:=x
a[n_][x_]:=Composition[a[n-1],f[n]][x]
Table[a[n][x],{n,1,6}]
DiscretePlot[a[n][1],{n,1,50}]
- 결과
\(\left\{x,\sqrt{1+2 x},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 x}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 x}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 x}}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 x}}}}}\right\}\)
메모
- http://www.dgp.toronto.edu/~mjmcguff/math/nestedRadicals.pdf
- http://fluxionsdividebyzero.com/p1/math/calculus/number/cr/sr_nroots.pdf
관련된 항목들
표준적인 도서 및 추천도서
- Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.
관련논문
- Ramanujan, S. Question No. 298. J. Indian Math. Soc. 1911.
사전형태의 참고자료
블로그
\(\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}}=\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\)
\(\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots\)
\(\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4+\sqrt{5+\sqrt{6+\cdots}}}}}}=1.75793275661800453270881963821820816125\cdots\)
\(\cos \frac{\pi}{32}=\cos\frac{\pi}{2^5}= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}\)
\(\cos \frac{\pi}{64}=\cos\frac{\pi}{2^6}= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2}\)
\(1,\sqrt{1+2 },\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 }},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 }}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 }}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 }}}}}, \cdots\)
a[1][x_]:=x
a[n_][x_]:=Composition[a[n-1],f[n]][x]
Table[a[n][x],{n,1,6}]
DiscretePlot[a[n][1],{n,1,50}]