"1,2,4,8 과 1,3,7"의 두 판 사이의 차이

2013년 1월 12일 (토) 09:01 판

\(\mathbb R^n\) 은 division algebra이다 \(\iff\)\(n=1,2,4,8\)
\(S^n\) 는 H-space 이다. \(\iff\)\(n=0,1,3,7\)
\(S^n\) 은 n개의 일차독립인 벡터장을 갖는다 \(\iff\)\(n=0,1,3,7\)
fiber 번들 \(S^p \to S^q \to S^r\) 이 존재한다. \(\iff\)\((p,q,r) = (0,1,1),(1,3,2),(3,7,4),(7,15,8)\)

실수 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 유한차원 division algebra
프로베니우스의 정리
실수체 \(\Bbb{R}\) 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 나눗셈대수(division algebra)는 실수 \(\Bbb{R}\), 복소수 \(\Bbb{C}\), 사원수 \(\Bbb{H}\) 뿐이다

체 위에 정의된 composition 대수는 항등원 1 (즉 모든 원소 x 에 대하여 \(1\cdot x = x \cdot 1= x\)을 만족시키는 원소)을 갖는 normed 대수이다
후르비츠의 정리
실수체 \(\Bbb{R}\) 위에 정의된 composition 대수는 실수 \(\Bbb{R}\), 복소수 \(\Bbb{C}\), 사원수 \(\Bbb{H}\), 팔원수 \(\Bbb{O}\) 뿐이다.

실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이 나눗셈대수(division algebra)구조를 갖고 다음을 만족시킬 경우, normed 나눗셈대수로 정의\[ \|x \, y\| \ = \|x \| \, \| y\|\]
normed 나눗셈대수(division algebra) 는 composition 대수의 특별한 경우이다

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 *  후르비츠의 정리<br> 실수체 <math>\Bbb{R}</math> 위에 정의된 composition 대수는 실수 <math>\Bbb{R}</math>, 복소수 <math>\Bbb{C}</math>, 사원수 <math>\Bbb{H}</math>, 팔원수 <math>\Bbb{O}</math> 뿐이다.<br>
-*  실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이 나눗셈대수(division algebra)구조를 갖고 다음을 만족시킬 경우, normed 나눗셈대수로 정의<br><math> \|x \, y\| \ =  \|x \| \, \| y\|</math><br>
+*  실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이 나눗셈대수(division algebra)구조를 갖고 다음을 만족시킬 경우, normed 나눗셈대수로 정의:<math> \|x \, y\| \ =  \|x \| \, \| y\|</math><br>
 * normed 나눗셈대수(division algebra) 는 composition 대수의 특별한 경우이다