"무리수와 디오판투스 근사"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
잔글 (찾아 바꾸기 – “==관련도서== * 도서내검색<br> ** http://books.google.com/books?q= ** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query= * 도서검색<br> ** http://books.google.com/books?q= ** http://book.daum.net/search/mainSearch.d)
잔글 (찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로)
9번째 줄: 9번째 줄:
 
는 무한히 많은 유리수 <math>p/q</math>에 의하여 만족된다.
 
는 무한히 많은 유리수 <math>p/q</math>에 의하여 만족된다.
  
−
*  더 나아가 다음이 성립한다(후르비츠 정리)<br> 무리수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식<br><math>|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}</math><br> 는 무한히 많은 유리수<math>p/q</math> 에 의하여 만족된다. (하지만 여기서 <math>\sqrt{5}</math> 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.)<br>
+
*  더 나아가 다음이 성립한다(후르비츠 정리)<br> 무리수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식:<math>|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}</math><br> 는 무한히 많은 유리수<math>p/q</math> 에 의하여 만족된다. (하지만 여기서 <math>\sqrt{5}</math> 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.)<br>
 
* [[연분수와 유리수 근사|연분수]] 항목 참조<br>
 
* [[연분수와 유리수 근사|연분수]] 항목 참조<br>
  
17번째 줄: 17번째 줄:
  
 
*  리우빌 정리 (1844) <br>
 
*  리우빌 정리 (1844) <br>
−
무리수이면서 차수가 d인 대수적수 <math>\alpha</math> 와 임의의 양수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 부등식 <br><math> \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert < \frac{1}{q^{d+\epsilon}}</math><br> 의 유리수해 <math>p/q</math>의 개수는 유한하다
+
무리수이면서 차수가 d인 대수적수 <math>\alpha</math> 와 임의의 양수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 부등식 :<math> \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert < \frac{1}{q^{d+\epsilon}}</math><br> 의 유리수해 <math>p/q</math>의 개수는 유한하다
  
−
*  리우빌 정리의 또다른 버전<br> 무리수이면서 차수가 d인 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 적당한 상수 <math>c(\alpha)>0</math>가 존재하여, 모든 유리수 <math>p/q</math>에 대하여 다음 부등식이 만족된다. <br><math> \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert > \frac{c(\alpha)}{q^{d}}</math><br>
+
*  리우빌 정리의 또다른 버전<br> 무리수이면서 차수가 d인 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 적당한 상수 <math>c(\alpha)>0</math>가 존재하여, 모든 유리수 <math>p/q</math>에 대하여 다음 부등식이 만족된다. :<math> \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert > \frac{c(\alpha)}{q^{d}}</math><br>
  
−
*  이 정리를 사용하여, 리우빌 상수 c가 초월수임을 증명할 수 있다<br><math>c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots</math>
+
*  이 정리를 사용하여, 리우빌 상수 c가 초월수임을 증명할 수 있다:<math>c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots</math>
  
  

2013년 1월 12일 (토) 09:41 판

개요

디리클레 근사정리(Dirichlet's approximation theorem)

는 무한히 많은 유리수 \(p/q\)에 의하여 만족된다.

  • 더 나아가 다음이 성립한다(후르비츠 정리)
    무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식\[|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\]
    는 무한히 많은 유리수\(p/q\) 에 의하여 만족된다. (하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.)
  • 연분수 항목 참조


리우빌 정리

  • 리우빌 정리 (1844)

무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 와 임의의 양수 \(\epsilon>0\)에 대하여, 부등식 \[ \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert < \frac{1}{q^{d+\epsilon}}\]
의 유리수해 \(p/q\)의 개수는 유한하다

  • 리우빌 정리의 또다른 버전
    무리수이면서 차수가 d인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, 적당한 상수 \(c(\alpha)>0\)가 존재하여, 모든 유리수 \(p/q\)에 대하여 다음 부등식이 만족된다. \[ \vert \alpha - \frac{p}{q} \vert > \frac{c(\alpha)}{q^{d}}\]
  • 이 정리를 사용하여, 리우빌 상수 c가 초월수임을 증명할 수 있다\[c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000\ldots\]



Thue-Siegel-Roth 정리

주어진 \(\epsilon>0\)에 대하여, 무리수이면서 대수적인수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식 \[\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}\] 의 유리수해 \(p/q\) 의 개수는 유한하다


역사



메모

관련된 항목들



수학용어번역



사전 형태의 자료



관련논문

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=무리수와_디오판투스_근사&oldid=25068"