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| − | * level 2 인 congruence [[모듈라 군(modular group)]] <math>\Gamma(2)</math>에 대한 모듈라 함수가 됨 | + | * level 2 인 congruence [[모듈라 군(modular group)]] <math>\Gamma(2)</math>에 대한 모듈라 함수가 됨:<math>\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}</math><br> |
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* <math>e_1,e_2,e_3,\infty</math> 네 점의 교차비로 이해할 수 있음<br> | * <math>e_1,e_2,e_3,\infty</math> 네 점의 교차비로 이해할 수 있음<br> | ||
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| − | * <math>S: \tau \to -\frac{1}{\tau}</math>에 의한 변화 | + | * <math>S: \tau \to -\frac{1}{\tau}</math>에 의한 변화:<math>\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}</math>:<math>e_1'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2</math>:<math>e_2'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1</math>:<math>e_3'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3</math>:<math>\lambda(-\frac{1}{\tau})=\frac{e_3-e_1}{e_2-e_1}=1-\lambda(\tau)</math><br> |
| − | * 따라서 [[모듈라 군(modular group)]]에 의해, 다음과 같은 값을 취할 수 있게 된다<br>[[교차비(cross ratio)|교차비]] | + | * 따라서 [[모듈라 군(modular group)]]에 의해, 다음과 같은 값을 취할 수 있게 된다<br>[[교차비(cross ratio)|교차비]]:<math> \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}}, 1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}</math><br> |
* 이러한 표현은 [[교차비(cross ratio)|사영기하학과 교차비]]에서 등장함<br> | * 이러한 표현은 [[교차비(cross ratio)|사영기하학과 교차비]]에서 등장함<br> | ||
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2013년 1월 12일 (토) 10:26 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- \(\lambda(\tau)=k^2(\tau)\) 는 타원적분의 modulus라고 불리며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨
- \(k(\tau)\)에 대해서는 타원적분의 singular value k 참조
- \(k(\tau)\)에 대해서는 타원적분의 singular value k 참조
- 가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 \(j\)-불변량(타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant))에 그 자리를 내줌
- level 2 인 congruence 모듈라 군(modular group) \(\Gamma(2)\)에 대한 모듈라 함수가 됨\[\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}\]
세타함수와의 관계
- 자코비 세타함수
자코비 세타함수\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)\[\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}\]
바이어슈트라스 타원함수와의 관계
- 바이어슈트라스의 타원함수
바이어슈트라스 타원함수 ℘\(\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}\)\[\tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}\] 로 두면, \(\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}\)
여기서 \[e_1=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)\]\[e_2=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\]\[e_3=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)\] - \(e_1,e_2,e_3,\infty\) 네 점의 교차비로 이해할 수 있음
- 사영기하학과 교차비 항목 참조\[z_4=\infty\] 인 경우\[(z_1,z_2;z_3,\infty) = \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}\]
모듈라군에 의한 변환
- 모듈라 군(modular group)에 의한 변환
- 생성원\[S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \], \(T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
- \(T: \tau \to \tau+1\)에 의한 변화\[\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \omega_1+\omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix}\]\[e_1'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1\]\[e_2'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3\]\[e_3'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2\]\[\lambda(\tau+1)=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}\]
- \(S: \tau \to -\frac{1}{\tau}\)에 의한 변화\[\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}\]\[e_1'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2\]\[e_2'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1\]\[e_3'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3\]\[\lambda(-\frac{1}{\tau})=\frac{e_3-e_1}{e_2-e_1}=1-\lambda(\tau)\]
- 따라서 모듈라 군(modular group)에 의해, 다음과 같은 값을 취할 수 있게 된다
교차비\[ \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}}, 1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}\] - 이러한 표현은 사영기하학과 교차비에서 등장함
- \(\Gamma/\Gamma(2)\)
타원 모듈라 j-함수와의 관계
\(J(\tau)=\frac{4}{27}\frac{(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2(1-\lambda)^2}\)
(증명)
다음과 같은 함수를 생각하자.
\((\lambda(\tau)+1)( {1\over\lambda(\tau)}+1)({1\over{1-\lambda(\tau)}}+1)( 1-\lambda(\tau)+1)( {\lambda(\tau)\over{\lambda(\tau)-1}}+1)( {{\lambda(\tau)-1}\over\lambda(\tau)})\)
모듈라군에 의한 변환에서 얻은 결과로 이 함수는 모듈라 군(modular group)에 의하여 불변임을 알 수 있다.
special values
\(\lambda(i\infty)=0\)
\(\lambda(0)=1\)
\(\lambda(1)=\infty\)
\(\lambda(\sqrt{-1})=\frac{1}{2}\)
\(\lambda(\frac {-1+\sqrt{-3}}{2}), \lambda(\frac {1+\sqrt{-3}}{2})\) 는 \(1-\lambda+\lambda^2=0\) 의 두 해
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
관련도서
- [AHL1979]Lars Ahlfors, Complex Analysis , 3rd edition, McGraw-Hill, 1979
- 7.3.4를 참고