"1,2,4,8 과 1,3,7"의 두 판 사이의 차이

2013년 3월 3일 (일) 02:13 판

\(\mathbb R^n\) 은 division algebra이다 \(\iff\)\(n=1,2,4,8\)
\(S^n\) 는 H-space 이다. \(\iff\)\(n=0,1,3,7\)
\(S^n\) 은 n개의 일차독립인 벡터장을 갖는다 \(\iff\)\(n=0,1,3,7\)
fiber 번들 \(S^p \to S^q \to S^r\) 이 존재한다. \(\iff\)\((p,q,r) = (0,1,1),(1,3,2),(3,7,4),(7,15,8)\)

실수 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 유한차원 division algebra
프로베니우스의 정리
실수체 \(\Bbb{R}\) 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 나눗셈대수(division algebra)는 실수 \(\Bbb{R}\), 복소수 \(\Bbb{C}\), 사원수 \(\Bbb{H}\) 뿐이다

체 위에 정의된 composition 대수는 항등원 1 (즉 모든 원소 x 에 대하여 \(1\cdot x = x \cdot 1= x\)을 만족시키는 원소)을 갖는 normed 대수이다
후르비츠의 정리
실수체 \(\Bbb{R}\) 위에 정의된 composition 대수는 실수 \(\Bbb{R}\), 복소수 \(\Bbb{C}\), 사원수 \(\Bbb{H}\), 팔원수 \(\Bbb{O}\) 뿐이다.

실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이 나눗셈대수(division algebra)구조를 갖고 다음을 만족시킬 경우, normed 나눗셈대수로 정의\[ \|x \, y\| \ = \|x \| \, \| y\|\]
normed 나눗셈대수(division algebra) 는 composition 대수의 특별한 경우이다

An Elementary Introduction to the Hopf Fibration
- David W. Lyons, Mathematics Magazine Vol. 76, No. 2 (Apr., 2003), pp. 87-98
The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces
- Bertram Walsh, The American Mathematical Monthly, Vol. 74, No. 2 (Feb., 1967), pp. 188-194

The four and eight square problem and division algebras
- CW Curtis, in MAA Studies in Modern Algebra Vol.2, (ed. AA Albert), pp. 100- 125
Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces
- W. S. Massey, The American Mathematical Monthly, Vol. 90, No. 10 (Dec., 1983), pp. 697-701
On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One
- J. F. Adams, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 72, No. 1 (Jul., 1960), pp. 20-104
The Octonions
- John Baez, AMS 2001

The Impossibility of a Division Algebra of Vectors in Three Dimensional Space
- Kenneth O. May, The American Mathematical Monthly, Vol. 73, No. 3 (Mar., 1966), pp. 289-291

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 * [http://www.jstor.org/stable/2315349 The Impossibility of a Division Algebra of Vectors in Three Dimensional Space]<br>
 ** Kenneth O. May, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 73, No. 3 (Mar., 1966), pp. 289-291
+[[분류:추상대수학]]