"Q-초기하급수의 점근 급수"의 두 판 사이의 차이

2013년 3월 11일 (월) 14:10 판

\(a>0,x>0,b\in\mathbb{R}\)라 두자
z>0는 방정식 \(1-x=zx^{a}\) 의 해라 하자.
다음 근사식이 성립함 [McIntosh1995] \[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^nq^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}} \exp (-\frac{1}{\log q}\{\operatorname{Li}_2(zx^{a})+\frac{a}{2}\log^2 x\})\] 또는 \[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^nq^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}} \exp (\frac{L(1-x)}{t})\] 이 때, \(q=e^{-t}\).

A=1/2 (3,5) minimal model\[\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}}} {(q;q)_n}\sim \frac{2}{\sqrt{5-\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}-\frac{t}{40})+o(t^5)\]\[\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}+\frac{n}{2}}} {(q;q)_n} \sim \frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}+\frac{t}{40})+o(t^5)\]

A=1 (3,4) minimal model\[\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n^2/2}}{(q)_n}\sim \exp(\frac{\pi^2}{12t}-\frac{t}{48})\]\[2\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt{2}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})\]\[\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})\]
A=2 (2,5) minimal model 로저스-라마누잔 항등식\[\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})+o(1)\]\[\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})+o(1)\]

2013년 1월 14일 (월) 12:42 판 (원본 보기) Pythagoras0 (토론 \| 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “수학사연표” 문자열을 “수학사 연표” 문자열로) ← 이전 편집	2013년 3월 11일 (월) 14:10 판 (원본 보기) Pythagoras0 (토론 \| 기여) 다음 편집 →
118번째 줄:	118번째 줄:


	+	[[분류:q-급수]]