"분할의 rank와 crank"의 두 판 사이의 차이

2013년 3월 18일 (월) 14:58 판

\[p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5\]\[p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7\]\[p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}\]

9의 분할에는 30개가 있다
각 분할에 대하여 rank를 구해보면 다음과 같이 분포되어 있다
- 8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8
이에 mod 5를 취하면,
- 3, 1, 0, 4, 4, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 4, 3, 0, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 1, 0, 4, 2
0,1,2,3,4 각각의 잉여류에 모두 6개씩의 분할이 들어있음을 알 수 있다.
crank에 대해서도 마찬가지 분포를 얻을 수 있다

분할의 rank = 분할에서 가장 큰 수 - 분할의 크기
예
- 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, rank=7-3=4
- 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, rank=4-4=0
분할의 crank
- 분할에서 가장 큰 수 (1이 포함되지 않는 분할의 경우)
- 분할에서 "1의개수"보다 큰 수 - 1의 개수 (1이 포함되는 경우)
예
- 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, crank=1-2=-1
- 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, crank=2-2=0
9의 분할수 = 30
- 분할
  {{9}, {8, 1}, {7, 2}, {7, 1, 1}, {6, 3}, {6, 2, 1}, {6, 1, 1, 1}, {5, 4}, {5, 3, 1}, {5, 2, 2}, {5, 2, 1, 1}, {5, 1, 1, 1, 1}, {4, 4, 1}, {4, 3, 2}, {4, 3, 1, 1}, {4, 2, 2, 1}, {4, 2, 1, 1, 1}, {4, 1, 1, 1, 1, 1}, {3, 3, 3}, {3, 3, 2, 1}, {3, 3, 1, 1, 1}, {3, 2, 2, 2}, {3, 2, 2, 1, 1}, {3, 2, 1, 1, 1, 1}, {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 2, 2, 2, 1}, {2, 2, 2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}}
- rank
  {8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8}
  이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
- crank
  {9,0,7,-1,6,1,-2,5,1,5,-1,-3,1,4,0,2,-2,-5,3,2,-3,3,-1,-4,-6,3,-3,-5,-7,-9}
  이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
자연수의 분할(partition)과 rank 목록

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
-==이 항목의 스프링노트 원문주소==
-* [[분할의 rank와 crank]]
 ==개요==
-* [[라마누잔(1887- 1920)]]의 [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]]에 대한 발견:<math>p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5</math>:<math>p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7</math>:<math>p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}</math><br>
+* [[라마누잔(1887- 1920)]]의 [[자연수의 분할수(integer partitions)]]에 대한 발견
+* [[분할수가 만족시키는 합동식]]
+:<math>p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5</math>:<math>p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7</math>:<math>p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}</math><br>
 * 이를 통계적인 분포로 자연스럽게 설명하기 위하여 분할의 rank와 crank의 개념이 도입
 * 프리먼 다이슨과 그 후속 연구로 발전
@@ 63번째 줄: / 57번째 줄: @@
 ==역사==
-* 1954 Atkin-Swinnerton-Dyer Dyson's conjecture is true
+* 1954 Atkin-스위너톤-다이어 : 다이슨 추측은 참이다
 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 * [[수학사 연표]]