사인-고든 방정식

개요

• 다음 미분방정식을 사인-고든 방정식이라 함 \[u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0 \label{sgeqn}\]
  
• 양자장론에 등장하는 클라인-고든 방정식에서 이름이 붙음\[(\Box + m^2) \psi =\psi_{tt}-\psi_{xx}+m^2\psi=0\]
  
• 다음과 같은 솔리톤 해들을 가짐
  
  • kink, antikink
  • kink-kink
  • kink-antikink
  • breather

오일러-라그랑지 방정식

• 라그랑지안 \(\mathcal{L}_\text{SG}(\psi) = \frac{1}{2}(\psi_t^2 - \psi_x^2) -1 + \cos\psi\) 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식\[\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0\] 을 적용하여 얻어진다
  

빛원뿔(light cone) 좌표계

• 변수 \(\xi=\frac{t+x}{2}\), \(\eta=\frac{-t+x}{2}\) 를 도입하면, 사인-고든 방정식 \ref{sgeqn}은 \[u_{\xi\eta}=\sin u \label{sglcone}\] 로 쓰여진다
  
• 미분방정식 \ref{sglcone}은 19세기 상수곡률곡면 에 대한 연구에서도 등장한다

Bäcklund 변환

• 함수 u가 사인-고든 방정식 \(u_{\xi\eta}=\sin u\)의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자\[\begin{align}v_{\xi} & = u_{\xi} + 2a \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\ v_{\eta} & = -u_{\eta} + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)\end{align} \,\!\]
  
• 함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다
• 해 u=0 에 이 변환을 적용하면, \(v(\xi ,\eta )=4 \arctan\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)\) 를 얻을 수 있다\[a=\frac{\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}}\] 로 두면, \(4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\)
  

traveling wave solution

• \(u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0\)
• \(u(x,t)=f(x-vt)\) 라 두자.
• u 가 사인-고든 방정식의 해가 되려면, f 는 \(v^2f''-f''+\sin f=0\) 를 만족시켜야 한다.
• 적분하면 다음을 얻는다.\[\frac{1}{2}(c^2-1)(f')^2-\cos f=a\]
  
• \(z\to \infty\) 일 때, \( f (z)\to 0\) 와 \(f'(z) \to 0\) 인 조건을 만족한다면, a=-1이 된다. 이 경우 다음 미분방정식을 풀면 된다\[(f')^2=\frac{4}{1-v^2}\sin^2(f/2)\]
  
• 이 상미분방정식의 해는\[u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\]
  

솔리톤 해의 예

• kink (soliton)\[u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\]
  
• antikink (anti-soliton)\[u(x,t)=4\arctan [\exp -[\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\]
  
• kink-kink collison [PS1962]\[u(x,t)=4\arctan [\frac{v\sinh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}{\cosh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}]\]
  
• kink-antikink (particle-antiparticle) collison [PS1962]\[u(x,t)=4\arctan [\frac{\sinh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}{v\cosh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}]\]
  

• Breather = coupled kink-antikink\[4 \arctan \left(\frac{\sqrt{1-\omega ^2} \sin (t \omega )}{\omega \cosh \left(x \sqrt{1-\omega ^2}\right)}\right)\]\[\omega=1/{\sqrt{2}}\] 인 경우\[4 \arctan \left(\sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \text{sech}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)\]
  

히로타 bilinear method

\(u(x,t)=4\arctan [\frac{F(x)}{G(t)}]\)

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

 

 

메모

• Pendulum Lattice ,Youtube
  
• Visualizing Solitons ,Youtube
  
• φtt-φxx+sinφ≠Humantt-Humanxx+sin(Human) ,Youtube
  
• soliton-Test3 ,Youtube
  
• http://gravityandlevity.wordpress.com/2009/06/11/visualizing-solitary-waves/
  

 

관련된 항목들

• 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation)
• 양자 사인-고든 모형(안창림)

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMDk4NzY3ZTMtZmEwNS00NTAxLTllOTAtMDFhMDNkNjNmOTdk&sort=name&layout=list&num=50
• http://demonstrations.wolfram.com/SystemOfPendulumsARealizationOfTheSineGordonModel/
  
• http://physics.ucsc.edu/~peter/250/mathematica/
  
  • http://physics.ucsc.edu/%7Epeter/250/mathematica/sinegordon.nb
    
• The Sine Gordon Equation
  

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/사인-고든
• http://en.wikipedia.org/wiki/Sine–Gordon_equation
• http://en.wikipedia.org/wiki/Bäcklund_transform
• Sine-Gordon equation, Springer, L.A. Takhtadzhyan
• The World of Mathematical Equations
  • http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde2106.pdf

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• SOLITONS in the SINE-GORDON Equation Nonlinear Science
  
• Notes on The Sine Gordon Equation David Gablinger, 2007

 

 

관련논문

• Classical and quantum kink scattering http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(93)90243-I
• Hirota, Ryogo. 1977. “Nonlinear Partial Difference Equations III; Discrete Sine-Gordon Equation”. Journal of the Physical Society of Japan 43: 2079-2086. doi:10.1143/JPSJ.43.2079
• Hirota, Ryogo. 1972. “Exact Solution of the Sine-Gordon Equation for Multiple Collisions of Solitons”. Journal of the Physical Society of Japan 33: 1459-1463. doi:10.1143/JPSJ.33.1459
• [PS1962]A model unified field equation J. K. Perring and T. H. R. Skyrme, Nuclear Physics Volume 31, March-April 1962, Pages 550-555

 

관련도서

• Waves Called Solitons: Concepts and Experiments chapter 6