"Q-초기하급수의 점근 급수"의 두 판 사이의 차이

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* <math>a>0,x>0,b\in\mathbb{R}</math>라 두자
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* <math>a>0,z>0,b\in\mathbb{R}</math>라 두자
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* z>0는 방정식 <math>1-x=zx^{a}</math> 의 해라 하자.
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* $x>0$는 방정식 <math>1-x=zx^{a}</math> 의 해라 하자.
 
*  다음 근사식이 성립함 '''[McIntosh1995]''' :<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^nq^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}} \exp (-\frac{1}{\log q}\{\operatorname{Li}_2(zx^{a})+\frac{a}{2}\log^2 x\})</math> 또는 :<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^nq^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}} \exp (\frac{L(1-x)}{t})</math>   이 때, <math>q=e^{-t}</math>.
 
*  다음 근사식이 성립함 '''[McIntosh1995]''' :<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^nq^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}} \exp (-\frac{1}{\log q}\{\operatorname{Li}_2(zx^{a})+\frac{a}{2}\log^2 x\})</math> 또는 :<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^nq^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}} \exp (\frac{L(1-x)}{t})</math>   이 때, <math>q=e^{-t}</math>.
  
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*  A=1/2 (3,5) minimal model:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}}} {(q;q)_n}\sim \frac{2}{\sqrt{5-\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}-\frac{t}{40})+o(t^5)</math>:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}+\frac{n}{2}}} {(q;q)_n} \sim \frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}+\frac{t}{40})+o(t^5)</math><br>
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*  A=1/2 (3,5) minimal model:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}}} {(q;q)_n}\sim \frac{2}{\sqrt{5-\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}-\frac{t}{40})</math>
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:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}+\frac{n}{2}}} {(q;q)_n} \sim \frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}+\frac{t}{40})</math><br>
  
 
*  A=1 (3,4) minimal model:<math>\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n^2/2}}{(q)_n}\sim \exp(\frac{\pi^2}{12t}-\frac{t}{48})</math>:<math>2\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt{2}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math>:<math>\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math><br>
 
*  A=1 (3,4) minimal model:<math>\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n^2/2}}{(q)_n}\sim \exp(\frac{\pi^2}{12t}-\frac{t}{48})</math>:<math>2\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt{2}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math>:<math>\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math><br>
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*  A=2 (2,5) minimal model [[로저스-라마누잔 항등식]]:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})+o(1)</math>:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})+o(1)</math><br>
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*  A=2 (2,5) minimal model [[로저스-라마누잔 항등식]]
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:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})</math>
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:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})</math><br>
  
 
 
 
 

2013년 3월 29일 (금) 07:58 판

개요

  • \(a>0,z>0,b\in\mathbb{R}\)라 두자
  • $x>0$는 방정식 \(1-x=zx^{a}\) 의 해라 하자.
  • 다음 근사식이 성립함 [McIntosh1995] \[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^nq^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}} \exp (-\frac{1}{\log q}\{\operatorname{Li}_2(zx^{a})+\frac{a}{2}\log^2 x\})\] 또는 \[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^nq^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}} \exp (\frac{L(1-x)}{t})\]   이 때, \(q=e^{-t}\).

 

 

예

  • A=1/2 (3,5) minimal model\[\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}}} {(q;q)_n}\sim \frac{2}{\sqrt{5-\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}-\frac{t}{40})\]

\[\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}+\frac{n}{2}}} {(q;q)_n} \sim \frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}+\frac{t}{40})\]

  • A=1 (3,4) minimal model\[\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n^2/2}}{(q)_n}\sim \exp(\frac{\pi^2}{12t}-\frac{t}{48})\]\[2\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt{2}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})\]\[\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})\]
  • A=2 (2,5) minimal model 로저스-라마누잔 항등식

\[\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})\] \[\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})\]

 

 

 

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