수소 원자의 스펙트럼과 슈뢰딩거 방정식

개요

• 양성자와 전자로 구성된 시스템
• 3차원에서의 쿨롱 포텐셜 \[V(r) = -\frac{k e^2}{r}= -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\] 여기서 \(k=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\)
• 해밀토니안

$$ \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta + V(x,y,z) =-\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} $$ 여기서 $\Delta=(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})$는 라플라시안(Laplacian) 연산자

• 교환자 관계식

$$ [\hat{H},L^2]=[\hat{H},L_{z}]=0 $$ 여기서 \[L^2=-\hbar ^2 \left(\frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\right)\] \[L_{z}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi }\]

• 전자의 파동함수 $\psi_{E}$가 만족시키는 방정식, 즉 슈뢰딩거 방정식 을 쓰면, 해밀토니안의 고유값 $E$ 에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다

\[E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m_e}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) + V(x,y,z)\psi_{E}\] 또는 \[E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m_e}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\psi_{E}\]

• 보어의 수소원자모형을 수학적으로 설명한다
• 스핀의 존재는 슈뢰딩거 방정식으로 설명되지 않는다

 

구면좌표계와 변수분리

• 라플라시안은 다음과 같이 쓸 수 있다

\[\Delta =\Delta_{r}+\frac{1}{r^2}\Delta_{S^2} \]  여기서\[\Delta_{r}= \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}\]\[\Delta_{S^2}= \frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\]

• 구면조화함수(spherical harmonics) 를 사용하자
  
• 파동함수의 변수분리 \(\psi_{E}=R(r)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\) 라 쓰면,\[\frac{\hbar^2}{2m_e}[-\Delta_{r}+\frac{l(l+1)}{r^2}]-\frac{ke^2}{r})R(r)=ER(r)\]
  

 

 

 

역사

• 1904년 톰슨 모형
• 1913 스타크의 관찰
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Stark_effect
• 1913 보어 수소 원자 모형
• 수학사 연표

 

 

메모

• http://sourkremlin.wordpress.com/2010/01/24/mathematica-code-for-hydrogen-wave-functions/

 

관련된 항목들

• 구면조화함수(spherical harmonics)
• 르장드르 다항식
• 르장드르 다항식(associated Legendre polynomials)

     

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_atom#Solution_of_Schr.C3.B6dinger_equation:_Overview_of_results

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• http://www.eng.fsu.edu/~dommelen/quantum/style_a/hyd.html#SECTION07331000000000000000
• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hyde.html#c3
• http://www.chem.ufl.edu/%7Ebowers/classes/6470-F10/lectures/HydrogenWavefunctions.html