"판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)"의 두 판 사이의 차이

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==타원곡선의 discriminant==
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==개요==
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* 복소타원곡선의 판별식으로부터 weight이 12인 모듈라 형식 $\Delta(\tau)$이 얻어짐
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* 푸리에 전개 $\Delta(\tau)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n$로부터 얻어지는 계수 $\tau(n)$를 라마누잔의 타우 함수라 하며, 이는 많은 흥미로운 수론적 성질을 가짐
  
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* <math>\tau\in \mathbb H</math> 에 대응되는 타원곡선 <math>y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)</math> 의 판별식은 다음과 주어짐.:<math>F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)</math><br>
 
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*  정의에 따라 <math>F</math>는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.<br>
 
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*  또한 cusp 형식이 됨.:<math>g_2(i\infty)=\frac{4\pi^4}{3}</math>, <math>g_3(i\infty)=\frac{8\pi^6}{27}</math> 이므로,:<math>F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0</math><br>
 
  
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*  이 함수의 <math>\tau=i\infty</math>에서의 푸리에 전개는:<math>g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+\cdots)</math> 로 주어짐.<br>
 
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* [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)|<math>g_2, g_3</math>]]에 대해서는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]] 항목을 참조<br>
 
  
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==판별식 함수==
  
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==정의==
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===타원곡선의 판별식===
  
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* <math>\Delta(\tau)=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}= q-24q+252q^2\cdots</math> 를 discriminant 함수의 정의로 함.<br>
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* <math>\tau\in \mathbb H</math> 에 대응되는 타원곡선 <math>y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)</math> 의 판별식은 다음과 주어짐.:<math>F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)</math>
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* <math>\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)</math> 로 표현가능<br>
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*  정의에 따라 <math>F</math>는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.
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* 또한 cusp 형식이 됨.:<math>g_2(i\infty)=\frac{4\pi^4}{3}</math>, <math>g_3(i\infty)=\frac{8\pi^6}{27}</math> 이므로,:<math>F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0</math>
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*  이 함수의 <math>\tau=i\infty</math>에서의 푸리에 전개는:<math>g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+\cdots)</math> 로 주어짐.
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* <math>g_2, g_3</math>에 대해서는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]] 항목을 참조
  
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==모듈라 성질==
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===정의===
  
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* 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨:<math>\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =  \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)</math><br>
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* <math>\Delta(\tau)=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}= q-24q+252q^2\cdots</math> 를 discriminant 함수의 정의로 함.
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* <math>\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)</math> 로 표현가능
  
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==무한곱 표현과 데데킨트 에타함수==
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===모듈라 성질===
  
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* [[데데킨트 에타함수]]:<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math><br> 의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,:<math>\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots</math><br>
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* 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨:<math>\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)</math>
  
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===무한곱 표현과 데데킨트 에타함수===
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* [[데데킨트 에타함수]]:<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math> 의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,:<math>\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots</math>
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==라마누잔의 타우 함수==
 
==라마누잔의 타우 함수==
  
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*  discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,:<math>\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n</math><br>
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*  discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,:<math>\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n</math>
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===수론적 성질===
  
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==라마누잔의 추측==
 
  
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* <math>|\tau(p)| \leq 2p^{11/2}</math><br>
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===라마누잔의 추측===
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* 1974년 Deligne이 Weil추측을 증명함으로써 해결됨<br>
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# 서로 소인 자연수 <math>m,n</math> 에 대하여, <math>\tau(mn)=\tau(m)\tau(n)</math>
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# 소수 $p$와 자연수 $r$에 대하여, <math>\tau(p^{r + 1}) = \tau(p)\tau(p^r) - p^{11}\tau(p^{r - 1})</math>
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# 소수 $p$에 대하여 <math>|\tau(p)| \leq 2p^{11/2}</math>
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* 1917년 모델 (Mordell)이 처음 두 성질을 증명
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* 1974년 Deligne이 Weil 추측을 증명함으로써 해결됨
  
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==Lehmer의 추측==
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===Lehmer의 추측===
  
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*  모든 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대하여 <math>\tau(n)\neq 0 </math>이다<br>
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*  모든 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대하여 <math>\tau(n)\neq 0 </math>이다
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* http://mathoverflow.net/questions/31058/the-vanishing-of-ramanujans-function-taun<br>
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* http://mathoverflow.net/questions/31058/the-vanishing-of-ramanujans-function-taun
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*  미해결<br>
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*  미해결
  
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==메모==
 
==메모==
  
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*  Hecke’s theory of Hecke operators<br>
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*  Hecke’s theory of Hecke operators
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*  Serre’s theory of modular l-adic Galois representations<br>
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*  Serre’s theory of modular l-adic Galois representations
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*  Ramanujan-Petersson Conjectures<br>
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*  Ramanujan-Petersson Conjectures
  
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[데데킨트 에타함수]]
 
* [[데데킨트 에타함수]]
 
* [[라마누잔(1887- 1920)]]
 
* [[라마누잔(1887- 1920)]]
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* [[수론적 함수(산술함수, arithmetic function)]]
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==계산 리소스==
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
* http://oeis.org/A000594
 
* http://oeis.org/A000594
 
* http://aleph.sagemath.org/?q=3a221ddb-d5ba-4c2e-9f0e-7446d8170b21&lang=sage
 
* http://aleph.sagemath.org/?q=3a221ddb-d5ba-4c2e-9f0e-7446d8170b21&lang=sage
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* http://mathworld.wolfram.com/TauFunction.html
  
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==사전 형태의 자료==
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_tau_function
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan–Petersson_conjecture
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan%E2%80%93Petersson_conjecture http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan–Petersson_conjecture]
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* Rankin, R. A. 1986. “Fourier Coefficients of Cusp Forms.” Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100 (1): 5–29. doi:http://dx.doi.org/10.1017/S030500410006583X.
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
  
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==관련논문==
 
==관련논문==
  
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* [http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-47-01436-1 The vanishing of Ramanujan’s τ(n)]<br>
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* Lehmer, D.H. [http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-47-01436-1 The vanishing of Ramanujan’s τ(n)], Duke Math. J. 14, 429–433 (1947)
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**  Lehmer, D.H.Duke Math. J. 14, 429–433 (1947)<br>
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* Mordell, L. J., [http://www.archive.org/stream/proceedingsofcam1920191721camb#page/n133 On Mr.  Ramanujan's empirical expansions of modular functions], Cambr. Phil. Soc. Proc. 19, 117-124 (1917)
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
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* http://dx.doi.org/
 

2013년 8월 27일 (화) 01:52 판

개요

  • 복소타원곡선의 판별식으로부터 weight이 12인 모듈라 형식 $\Delta(\tau)$이 얻어짐
  • 푸리에 전개 $\Delta(\tau)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n$로부터 얻어지는 계수 $\tau(n)$를 라마누잔의 타우 함수라 하며, 이는 많은 흥미로운 수론적 성질을 가짐


판별식 함수

타원곡선의 판별식

  • \(\tau\in \mathbb H\) 에 대응되는 타원곡선 \(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)\) 의 판별식은 다음과 주어짐.\[F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)\]
  • 정의에 따라 \(F\)는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.
  • 또한 cusp 형식이 됨.\[g_2(i\infty)=\frac{4\pi^4}{3}\], \(g_3(i\infty)=\frac{8\pi^6}{27}\) 이므로,\[F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0\]
  • 이 함수의 \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개는\[g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+\cdots)\] 로 주어짐.
  • \(g_2, g_3\)에 대해서는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) 항목을 참조


정의

  • \(\Delta(\tau)=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}= q-24q+252q^2\cdots\) 를 discriminant 함수의 정의로 함.
  • \(\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)\) 로 표현가능



모듈라 성질

  • 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨\[\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\]


무한곱 표현과 데데킨트 에타함수

  • 데데킨트 에타함수\[\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\] 의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,\[\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\]


라마누잔의 타우 함수

  • discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,\[\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\]


수론적 성질

라마누잔의 추측

  1. 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\tau(mn)=\tau(m)\tau(n)\)
  2. 소수 $p$와 자연수 $r$에 대하여, \(\tau(p^{r + 1}) = \tau(p)\tau(p^r) - p^{11}\tau(p^{r - 1})\)
  3. 소수 $p$에 대하여 \(|\tau(p)| \leq 2p^{11/2}\)
  • 1917년 모델 (Mordell)이 처음 두 성질을 증명
  • 1974년 Deligne이 Weil 추측을 증명함으로써 해결됨



Lehmer의 추측



메모

  • Hecke’s theory of Hecke operators
  • Serre’s theory of modular l-adic Galois representations
  • Ramanujan-Petersson Conjectures



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

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