수소 원자의 스펙트럼과 슈뢰딩거 방정식

개요

• 양성자와 전자로 구성된 시스템
  • 전자의 질량 $m_e$, 양성자의 질량 $m_p$, 전하 $e$
• 3차원에서의 쿨롱 포텐셜 \[V(r) = -\frac{k e^2}{r}= -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\] 여기서 \(k=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\)
• 해밀토니안

$$ \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2\mu}\Delta + V(x,y,z) $$ 여기서 $\Delta=(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})$는 라플라시안(Laplacian) 연산자, $\mu=\frac{m_e m_p}{m_e+m_p}\approx m_e$ 는 환산질량 (reduced mass)

• 전자의 파동함수 $\psi_{E}(x,y,z)$가 만족시키는 방정식, 즉 슈뢰딩거 방정식 을 쓰면, 해밀토니안 $\hat{H}$의 고유값 $E$ 에 대한 방정식은 다음과 같이 주어진다

\[ \hat{H} \psi_{E}= E \psi_{E} \label{ei} \] 또는 \[E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2\mu}(\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi_{E}}{\partial z^2}) -\frac{k e^2}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\psi_{E}\]

• 보어의 수소원자모형을 수학적으로 설명한다
• 스핀의 존재는 슈뢰딩거 방정식으로 설명되지 않는다

구면좌표계와 변수분리

• 라플라시안은 다음과 같이 나누어 쓸 수 있다

\[\Delta =(\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})=\Delta_{r}+\frac{1}{r^2}\Delta_{S^2} \] 여기서 \[ \begin{aligned} \Delta_{r}& = \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r},\\ \Delta_{S^2}&= \frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right) \end{aligned} \]

• \ref{ei}를 만족하는 파동함수 $\psi_{E}$가 변수분리된 형태, 즉 \(\psi_{E}=f(r)Y(\theta,\phi)\) 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음이 성립한다

\[ \Delta_{S^2}Y(\theta,\phi)=\lambda Y(\theta,\phi),\\ \left(-\frac{\hbar^2}{2\mu}[\Delta_{r}+\frac{\lambda}{r^2}]+V(r)\right)f(r)=Ef(r) \]

• 구면조화함수(spherical harmonics) $Y_{l}^{m}(\theta,\phi)$는 연산자 $\Delta_{S^2}$의 고유벡터이며, 고유치는 \(-l(l+1)\)이다. 즉, 다음을 만족한다

\[\Delta_{S^2}Y_{l}^{m}(\theta,\phi)=-l(l+1)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\]

• 파동함수가 \(\psi_{E}=f(r)Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\) 꼴로 쓰여진다고 가정하면, 다음 미분방정식을 얻는다

\[\left(\frac{\hbar^2}{2\mu}[-\Delta_{r}+\frac{l(l+1)}{r^2}]-\frac{ke^2}{r}\right)f(r)=Ef(r)\]

• 이를 풀어쓰면, $f$는 다음을 만족한다

$$ r^2 f''(r)+2 r f'(r)+\frac{2 E m r^2 f(r)}{\hbar ^2}+\frac{2 e^2 k m r f(r)}{\hbar ^2}-l (l+1) f(r)=0 $$

• 이 미분방정식은 적당한 상수 $a,b$에 대하여, 다음과 같은 형태로 쓰여진다

$$ r^2 f''(r)+2 r f'(r)+\left(a r^2 f(r)+b r f(r)-l (l+1) f(r)\right)=0 $$

양자 수와 교환자 관계식

• 교환자 관계식

$$ [\hat{H},L^2]=[\hat{H},L_{z}]=0 $$ 여기서 \[L^2=-\hbar ^2 \left(\frac{1}{\sin ^2(\theta )}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}+\frac{1}{\sin (\theta )} \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin (\theta ) \frac{\partial}{\partial \theta }\right)\right)\] \[L_{z}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi }\]

• 양자수
  • $n$ : principal quantum number
  • $\ell$ : azimuthal quantum number
  • $m$ : magnetic quantum number, $-\ell \le m \le \ell$
• $\hat{H}$의 고유벡터를 $|n,\ell,m\rangle$로 표현할 수 있다

\[\hat{H} | n, \ell, m \rangle = E_n \,| n, \ell, m \rangle \] \[ L^2\, | n, \ell, m\rangle = {\hbar}^2 \ell(\ell+1)\, | n, \ell, m \rangle \] \[ L_z\, | n, \ell, m \rangle = \hbar m \,| n, \ell, m \rangle \]

역사

• 1904년 톰슨 모형
• 1913 스타크의 관찰
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Stark_effect
• 1913 보어 수소 원자 모형 : 수소 원자 주위 전자의 각운동량이 양자화되어 있다는 가설
• 수학사 연표

 

 

메모

• http://sourkremlin.wordpress.com/2010/01/24/mathematica-code-for-hydrogen-wave-functions/

 

관련된 항목들

• 3차원 공간의 회전과 SO(3)
• 각운동량의 양자 이론
• 구면조화함수(spherical harmonics)
• 르장드르 다항식
• 르장드르 다항식(associated Legendre polynomials)

     

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_atom#Solution_of_Schr.C3.B6dinger_equation:_Overview_of_results

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Mawhin, Jean, and André Ronveaux. 2010. “Schrödinger and Dirac Equations for the Hydrogen Atom, and Laguerre Polynomials.” Archive for History of Exact Sciences 64 (4): 429–460. doi:10.1007/s00407-010-0060-3.
• Felix Nendzig, 2013. The Quantum Theory of the Hydrogen Atom
• Hitoshi, Hydrogen atom and relativistic corrections
• The Hydrogen Atom
• http://www.eng.fsu.edu/~dommelen/quantum/style_a/hyd.html#SECTION07331000000000000000
• http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hyde.html#c3