리대수 sl(3,C)의 유한차원 표현론

개요

• 복소수체 위의 8차원 리대수 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})$
• $\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(3,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}$
• $A_2$ 타입의 단순 리대수

리대수 $\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})$

• 기저

$$ \begin{array}{|rcl|} \hline h_1 & = & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline h_2 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right) \\ \hline e_1 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline e_2 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline e_3 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline f_1 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline f_2 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline f_3 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline \end{array} $$

• 세르 관계식 (Serre relations)
• $A_2$ 카르탄 행렬

\[A=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\]

• $A_2$ 루트 시스템

\[\Phi=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2,-\alpha_1,-\alpha_2,-\alpha_1-\alpha_2\}\]

• \(A_2\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^3\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
  • \(\alpha_1=(1,-1,0)\)
  • \(\alpha_2=(0,1,-1)\)
  • \(\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2=(1,0,-1)\)
• fundamental weights
  • \(\omega_1=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})\)
  • \(\omega_2=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})\)
• 바일 벡터 \(\rho=(1,0,-1)\)

유한차원 기약 표현의 분류

• 유한차원 기약 표현 $V$에 대하여, 적당한 dominant weight $\omega=a\omega_1+b\omega_2,\quad a,b\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$가 존재하여, $V\cong L(\omega)$가 성립
• 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다

$$ \dim L(a\omega_1+b\omega_2)=\frac{1}{2} (a+1) (b+1) (a+b+2) $$

기약표현의 예

• 아래의 그림에서 빨간색 원은 highest weight, 숫자는 각 weight 공간의 차원을 의미
• 표현 $V=L(\lambda)$의 지표를 다음과 같이 정의

$$ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} $$

• $x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2}$로 두면, $\chi_{\lambda}$는 $\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm}]$의 원소가 된다
• 바일 지표 공식 (Weyl character formula) 항목 참조

예1

• fundamental 표현, highest weight은 $\omega_1$
• 3차원 표현
• 지표

$$ \chi_{\omega_1}=x_1+\frac{1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} $$

• weight diagram

예2

• adjoint 표현, highest weight은 $\omega_1+\omega_2$
• 8차원 표현
• 지표

$$ \chi_{\omega_1+\omega_2}=\frac{x_1^2}{x_2}+x_2 x_1+\frac{x_1}{x_2^2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{1}{x_1 x_2}+\frac{x_2^2}{x_1}+2 $$

• weight diagram

예3

• highest weight이 $3\omega_1+2\omega_2$로 주어진 기약표현
• 42차원 표현
• 지표

$$ \begin{align} \chi_{3\omega_1+2\omega_2}&= \frac{x_1^5}{x_2^2}+\frac{x_1^4}{x_2^3}+x_1^4+x_2^2 x_1^3+\frac{2 x_1^3}{x_2}+\frac{x_1^3}{x_2^4}+2 x_2 x_1^2+\frac{2 x_1^2}{x_2^2}+\frac{x_1^2}{x_2^5}+x_2^3 x_1\\ &+\frac{2 x_1}{x_2^3}+3 x_1+\frac{x_2^5}{x_1^3}+\frac{x_2^4}{x_1^4}+\frac{2 x_2^3}{x_1^2}+\frac{x_2^3}{x_1^5}+\frac{2 x_2^2}{x_1^3}+2 x_2^2+\frac{x_2}{x_1^4}+\frac{2}{x_1^2}+\frac{3}{x_2}\\ &+\frac{1}{x_1^3 x_2}+\frac{2}{x_1 x_2^2}+\frac{1}{x_1^2 x_2^3}+\frac{1}{x_2^4}+\frac{x_2^4}{x_1}+\frac{3 x_2}{x_1} \end{align} $$

• weight diagram

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxRDFqeC1IRE45aXc/edit?pli=1