"슈바르츠 삼각형 함수"의 두 판 사이의 차이
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2015년 2월 23일 (월) 15:43 판
개요
- automorphic 함수 \(w=S(\alpha,\beta,\gamma;z)\)
- 슈워츠 삼각형 함수라고도 불림
- 세 파라메터 a,b,c에 대한 초기하 미분방정식의 일차독립인 두 해의 비율로 얻어지는 함수
- \(\alpha=1-c,\beta=b-a,\gamma=c-a-b\) 로 두자.
- 리만 사상 정리 에 의하면 복소상반평면을 \(\alpha\pi,\beta\pi,\gamma\pi\) 를 세 각으로 갖는 삼각형으로 보내는 해석함수가 존재한다
- 이 함수의 역함수를 라 한다
- 맴돌이군이 유한인 초기하 미분방정식에 대한 슈워츠 목록 의 연구에서 중요한 역할
초기하함수 표현
- 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)\[z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\]
- 해는 오일러-가우스 초기하함수2F1 으로 표현된다
- 슈바르츠 s-함수는 다음과 같이 쓸 수 있다\[s(z)=\frac{z^{1-c}\,_2F_1(a',b';c';z)}{\,_2F_1(a,b;c;z)}=\frac{z^{1-c}\,_2F_1(a-c+1,b-c+1;2-c;z)}{\,_2F_1(a,b;c;z)}\]\[a'=a-c+1\], \(b'=b-c+1\), \(c'=2-c\)
special values
- \(s(0)=0\)
- \(s(1)=\frac{\Gamma (2-c) \Gamma (c-a) \Gamma (c-b)}{\Gamma (1-a) \Gamma (1-b) \Gamma (c)}\)
- \(s(\infty)=\frac{e^{i \pi (1-c)}\Gamma (b) \Gamma (c-a) \Gamma (2-c)}{\Gamma (c) \Gamma (b-c+1) \Gamma (1-a)}\)
예
- 오차방정식과 정이십면체
- \(\alpha=1/5, \beta=1/2, \gamma=1/3\) 로 두면, \(a=-1/60,b=29/60,c=4/5\) 를 얻는다
- \(a=-1/60,b=29/60,c=4/5\) 를 이용하면,\[s(z)=\frac{z^{1/5} \, _2F_1\left(\frac{11}{60},\frac{41}{60};\frac{6}{5};z\right)}{\, _2F_1\left(-\frac{1}{60},\frac{29}{60};\frac{4}{5};z\right)}\]
- 삼각형의 꼭지점\[s(0)=0\]\[s(1)=\frac{\Gamma \left(\frac{19}{60}\right) \Gamma \left(\frac{49}{60}\right) \Gamma \left(\frac{6}{5}\right)}{\Gamma \left(\frac{31}{60}\right) \Gamma \left(\frac{4}{5}\right) \Gamma \left(\frac{61}{60}\right)}\]\[s(\infty)=\frac{e^{\frac{i \pi }{5}} \Gamma \left(\frac{29}{60}\right) \Gamma \left(\frac{49}{60}\right) \Gamma \left(\frac{6}{5}\right)}{\Gamma \left(\frac{41}{60}\right) \Gamma \left(\frac{4}{5}\right) \Gamma \left(\frac{61}{60}\right)}\]
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
관련논문
- Maldonado, R., and N. S. Manton. ‘Analytic Vortex Solutions on Compact Hyperbolic Surfaces’. arXiv:1502.01990 [hep-Th, Physics:math-Ph, Physics:nlin], 6 February 2015. http://arxiv.org/abs/1502.01990.
- Harmer, Mark. ‘Note on the Schwarz Triangle Functions’. Bulletin of the Australian Mathematical Society 72, no. 3 (2005): 385–89. doi:10.1017/S0004972700035218.
- Lehner, Joseph. ‘Note on the Schwarz Triangle Functions.’ Pacific Journal of Mathematics 4, no. 2 (1954): 243–49. http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103044883