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<math>g_a(\chi) := \sum_{t \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \chi(t) e^{2 \pi i a t/p}</math> | <math>g_a(\chi) := \sum_{t \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \chi(t) e^{2 \pi i a t/p}</math> | ||
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<math>g_1(\chi) = \begin{cases} \sqrt{p}, & p \equiv 1 \pmod{4}, \\ i \sqrt{p}, & p \equiv 3 \pmod{4}. \end{cases}</math> | <math>g_1(\chi) = \begin{cases} \sqrt{p}, & p \equiv 1 \pmod{4}, \\ i \sqrt{p}, & p \equiv 3 \pmod{4}. \end{cases}</math> | ||
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2009년 8월 13일 (목) 09:58 판
간단한 소개
- 소수 \(p\)가 주어져 있을때, \(a\in \mathbb Z/p\mathbb Z\)와 곱셈에 대한 준동형사상 \(\chi \colon (\mathbb Z/p\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)상 \(\chi \colon \mathbb Z/p\mathbb Z \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함
\(g_a(\chi) := \sum_{t \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \chi(t) e^{2 \pi i a t/p}\)
- 성질
\(g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)\)
- \(a=1\)이고 \(\chi(t)=$\left(\frac{t}{p}\right)\) 일 때, 가우스합은 다음과 같이 주어짐
\(g_1(\chi) := \sum_{t \in \mathbb Z/p\mathbb Z} $\left(\frac{t}{p}\right) e^{2 \pi i t/p}\)
\(g_1(\chi) = \begin{cases} \sqrt{p}, & p \equiv 1 \pmod{4}, \\ i \sqrt{p}, & p \equiv 3 \pmod{4}. \end{cases}\)
정17각형의 작도 과정에서 나타나는 가우스합
- \(\zeta=e^{2\pi i \over 17}\) 로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표.
- \((3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}\)
- 이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류
- \(A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}\)
- \(A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}\)
- \(A_0+A_1= -1\) 임은 쉽게 알 수 있음
- \(A_0-A_1\) 는 가우스합이므로 \(A_0-A_1=\sqrt{17}\)
- \(A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\) , \(A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}\)
관련된 다른 주제들
관련도서 및 추천도서
- 도서내검색
- 도서검색
참고할만한 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/가우스합
- http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_Gauss_sum
- [1][2]http://en.wikipedia.org/wiki/
블로그
- 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=가우스합
- 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=