"리대수 sp(6,C)의 유한차원 표현론"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 12일 (목) 01:32 기준 최신판

개요

복소수체 위의 21차원 리대수
\(C_3\) 타입의 단순 리대수

리대수 \(\mathfrak{sp}(6,\mathbb{C})\)

\(C_3\) 카르탄 행렬

\[ \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ \end{array} \right) \]

\(C_3\) 루트 시스템 \(\Phi=\Phi^{+}\cup (-\Phi^{+})\)

\[ \Phi^{+}=\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2,2 \alpha _2+\alpha _3,\alpha _2+\alpha _3,2 \alpha _1+2 \alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+2 \alpha _2+\alpha _3\right\} \]

바일군 : 크기 48인 유한반사군 콕세터 군 B3/C3
\(C_3\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^3\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
- \(\alpha_1=(1,-1,0)\)
- \(\alpha_2=(0,1,-1)\)
- \(\alpha_3=(0,0,2)\)
fundamental weights
- \(\omega_1=(1,0,0)\)
- \(\omega_2=(1,1,0)\)
- \(\omega_3=(1,1,1)\)
바일 벡터 \(\rho=(3,2,1)\)

유한차원 기약 표현의 분류

유한차원 기약 표현 \(V\)에 대하여, 적당한 dominant weight \(\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3, a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)가 존재하여, \(V\cong L(\omega)\)가 성립
바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다

\[ \dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{720} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (b+2 c+3) (a+b+c+3) (a+b+2 c+4) (a+2 b+2 c+5) \]

기약표현의 예

표현 \(V=L(\lambda)\)의 지표를 다음과 같이 정의

\[ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} \]

\(x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}\)로 두면, \(\chi_{\lambda}\)는 \(\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]\)의 원소가 된다
바일 지표 공식 (Weyl character formula) 항목 참조

예1

벡터 표현, highest weight은 \(\omega_1\)
6차원 표현
지표

\[ \chi_{\omega_1}=\frac{x_1}{x_2}+x_1+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1} \]

weight diagram

예2

adjoint 표현, highest weight \(2\omega_1\)
21차원 표현
지표

\[ \chi_{2\omega_1}=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2^2}+x_1^2+\frac{x_3 x_1}{x_2}+\frac{x_3 x_1}{x_2^2}+\frac{x_2 x_1}{x_3}+\frac{x_1}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1^2}+\frac{x_3^2}{x_2^2}+\frac{x_2}{x_1^2}+x_2+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+\frac{x_2}{x_1 x_3}+\frac{x_2^2}{x_3^2}+\frac{x_3}{x_1}+3 \]

weight diagram

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMEE2SE5CaDFwclU/edit

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 ==개요==
 * 복소수체 위의 21차원 리대수
-* $C_3$ 타입의 단순 리대수
+* <math>C_3</math> 타입의 단순 리대수
-==리대수 $\mathfrak{sp}(6,\mathbb{C})$==
+==리대수 <math>\mathfrak{sp}(6,\mathbb{C})</math>==
-* $C_3$ 카르탄 행렬
+* <math>C_3</math> 카르탄 행렬
-$$
+:<math>
 \left(
 \begin{array}{ccc}
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 \end{array}
 \right)
-$$
+</math>
-* $C_3$ 루트 시스템 $\Phi=\Phi^{+}\cup (-\Phi^{+})$
+* <math>C_3</math> 루트 시스템 <math>\Phi=\Phi^{+}\cup (-\Phi^{+})</math>
-$$
+:<math>
 \Phi^{+}=\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2,2 \alpha _2+\alpha _3,\alpha _2+\alpha _3,2 \alpha _1+2 \alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+2 \alpha _2+\alpha _3\right\}
-$$
+</math>
 * 바일군 : 크기 48인 유한반사군 [[콕세터 군 B3/C3]]
 * <math>C_3</math>의 루트 시스템을 <math>\mathbb{R}^3</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
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 ** <math>\alpha_3=(0,0,2)</math>
 * fundamental weights
-** $\omega_1=(1,0,0)$
+** <math>\omega_1=(1,0,0)</math>
-** $\omega_2=(1,1,0)$
+** <math>\omega_2=(1,1,0)</math>
-** $\omega_3=(1,1,1)$
+** <math>\omega_3=(1,1,1)</math>
 * 바일 벡터 <math>\rho=(3,2,1)</math>
 ==유한차원 기약 표현의 분류==
-* 유한차원 기약 표현 $V$에 대하여, 적당한 dominant weight $\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3, a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$가 존재하여, $V\cong L(\omega)$가 성립
+* 유한차원 기약 표현 <math>V</math>에 대하여, 적당한 dominant weight <math>\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3, a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>가 존재하여, <math>V\cong L(\omega)</math>가 성립
 * [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]을 이용하면, 다음을 얻는다
-$$
+:<math>
 \dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{720} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (b+2 c+3) (a+b+c+3) (a+b+2 c+4) (a+2 b+2 c+5)
-$$
+</math>
 ==기약표현의 예==
-* 표현 $V=L(\lambda)$의 지표를 다음과 같이 정의
+* 표현 <math>V=L(\lambda)</math>의 지표를 다음과 같이 정의
-$$
+:<math>
 \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}
-$$
+</math>
-* $x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}$로 두면, $\chi_{\lambda}$는 $\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]$의 원소가 된다
+* <math>x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}</math>로 두면, <math>\chi_{\lambda}</math>는 <math>\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]</math>의 원소가 된다
 * [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 항목 참조
 ===예1===
-* 벡터 표현, highest weight은 $\omega_1$
+* 벡터 표현, highest weight은 <math>\omega_1</math>
 * 6차원 표현
 * 지표
-$$
+:<math>
 \chi_{\omega_1}=\frac{x_1}{x_2}+x_1+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1}
-$$
+</math>
 * weight diagram
 [[파일:리대수 sp(6,C)의 유한차원 표현론2.png]]
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 ===예2===
-* adjoint 표현, highest weight $2\omega_1$
+* adjoint 표현, highest weight <math>2\omega_1</math>
 * 21차원 표현
 * 지표
-$$
+:<math>
 \chi_{2\omega_1}=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2^2}+x_1^2+\frac{x_3 x_1}{x_2}+\frac{x_3 x_1}{x_2^2}+\frac{x_2 x_1}{x_3}+\frac{x_1}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1^2}+\frac{x_3^2}{x_2^2}+\frac{x_2}{x_1^2}+x_2+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+\frac{x_2}{x_1 x_3}+\frac{x_2^2}{x_3^2}+\frac{x_3}{x_1}+3
-$$
+</math>
 * weight diagram
 [[파일:리대수 sp(6,C)의 유한차원 표현론3.png]]