"가우스 합과 데데킨트 합의 관계"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
7번째 줄: 7번째 줄:
 
<h5>개요</h5>
 
<h5>개요</h5>
  
−
* [[#]]
+
* [[가우스 합]]
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<h5>정의</h5>
 +
 
 +
*  데데킨트합<br><math>\operatorname{ddk}(a,c)=\frac{1}{4 c}\sum _{n=0}^{c-1} \cot \left(\frac{\pi  (2 n+1)}{2 c}\right) \cot \left(\pi  \left(\frac{a (2 n+1)}{2 c}+\frac{1}{2}\right)\right)</math><br>
 +
*  가우스합<br><math>\operatorname{Ga}(a,c)=\frac{1}{\sqrt{c}}\sum _{r=0}^{|c|-1} \exp \left(\frac{i \pi  a r^2}{c}\right)</math><br>
 +
*  remark<br> 이 정의는  [[데데킨트 합]] 에서의 정의와는 다르다<br><math>s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1}  \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)</math><br>
 +
 
 +
(정리)
 +
 
 +
<math>\operatorname{Ga}(a,c)=\exp(-\pi i \operatorname{ddk}(a,c))</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<h5>메모</h5>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
* [[#]]<br> Jacobi triple product<br><math>\sum_{n=-\infty}^\infty  z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty  \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)</math><br>
 +
* <math>z=1</math> 인 경우
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<math>\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty  \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + q^{2m-1}\right)^2</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<math>\sqrt{t}\theta(\frac{p}{q}+it)\sim \frac{1}{q}S(p,q)=\frac{1}{q}\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<math>\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim  \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
  
 
 
 
 

2012년 4월 22일 (일) 12:16 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

 

정의
  • 데데킨트합
    \(\operatorname{ddk}(a,c)=\frac{1}{4 c}\sum _{n=0}^{c-1} \cot \left(\frac{\pi (2 n+1)}{2 c}\right) \cot \left(\pi \left(\frac{a (2 n+1)}{2 c}+\frac{1}{2}\right)\right)\)
  • 가우스합
    \(\operatorname{Ga}(a,c)=\frac{1}{\sqrt{c}}\sum _{r=0}^{|c|-1} \exp \left(\frac{i \pi a r^2}{c}\right)\)
  • remark
    이 정의는  데데킨트 합 에서의 정의와는 다르다
    \(s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1} \cot \left( \frac{\pi n}{c} \right) \cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right)\)

(정리)

\(\operatorname{Ga}(a,c)=\exp(-\pi i \operatorname{ddk}(a,c))\)

 

 

 

메모

 

  • #
    Jacobi triple product
    \(\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)\)
  • \(z=1\) 인 경우

 

\(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + q^{2m-1}\right)^2\)

 

 

 

 

 

\(\sqrt{t}\theta(\frac{p}{q}+it)\sim \frac{1}{q}S(p,q)=\frac{1}{q}\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}\)

 

\(\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\exp({\frac{\pi^2}{6k^2t}})\eta(\frac{h}{k}+i\frac{t}{2\pi})\sim \frac{\exp\left(\pi i (\frac{h}{12k}-s(h,k)\right)}{\sqrt{k}}\)

 

 

 

 

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

 

 

관련도서
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=가우스_합과_데데킨트_합의_관계&oldid=3321"