"근과 계수와의 관계"의 두 판 사이의 차이
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:<math>P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \, </math> | :<math>P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \, </math> | ||
| − | * [[대수학의 기본정리]]에 의해, | + | * [[대수학의 기본정리]]에 의해, <math>P(x)</math>는 <math>n</math>개의 복소수 근 <math>x_1,\cdots, x_n</math>을 갖는다 |
* 근과 계수와의 관계는 다음을 말한다 | * 근과 계수와의 관계는 다음을 말한다 | ||
:<math>\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\ | :<math>\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\ | ||
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* 다음과 같이 표현할 수 있다 | * 다음과 같이 표현할 수 있다 | ||
: <math>\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n} \label{ele}</math> | : <math>\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n} \label{ele}</math> | ||
| − | * \ref{ele}의 좌변을 | + | * \ref{ele}의 좌변을 <math>n</math>개의 변수 <math>x_1,\cdots, x_n</math>에 대한 <math>k</math>차 [[초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)]]이라 부른다 |
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* 다음은 중고등학교의 수학에 등장하는 근과 계수와의 관계이다 | * 다음은 중고등학교의 수학에 등장하는 근과 계수와의 관계이다 | ||
===2차식=== | ===2차식=== | ||
| − | * 다항식 | + | * 다항식 <math>ax^2+bx+c</math>의 근이 <math>\alpha, \beta</math>라 하면, 다음이 성립한다 |
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\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a} | \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a} | ||
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===3차식=== | ===3차식=== | ||
| − | * 다항식 | + | * 다항식 <math>ax^3+bx^2+cx+d</math>의 근이 <math>\alpha, \beta,\gamma</math>라 하면, 다음이 성립한다 |
| − | + | :<math> | |
\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} | \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} | ||
| − | + | </math> | |
2020년 11월 13일 (금) 03:01 판
개요
- 다항식의 계수와 근이 서로 만족시키는 관계
- \(n\)차의 복소계수다항식
\[P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \, \]
- 대수학의 기본정리에 의해, \(P(x)\)는 \(n\)개의 복소수 근 \(x_1,\cdots, x_n\)을 갖는다
- 근과 계수와의 관계는 다음을 말한다
\[\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\ (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ {} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}\]
- 다음과 같이 표현할 수 있다
\[\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n} \label{ele}\]
- \ref{ele}의 좌변을 \(n\)개의 변수 \(x_1,\cdots, x_n\)에 대한 \(k\)차 초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)이라 부른다
예
- 다음은 중고등학교의 수학에 등장하는 근과 계수와의 관계이다
2차식
- 다항식 \(ax^2+bx+c\)의 근이 \(\alpha, \beta\)라 하면, 다음이 성립한다
\[ \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a} \]
3차식
- 다항식 \(ax^3+bx^2+cx+d\)의 근이 \(\alpha, \beta,\gamma\)라 하면, 다음이 성립한다
\[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \]
역사
메모
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/근과_계수의_관계
- http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta's_formulas
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- http://mathworld.wolfram.com/VietasFormulas.html
리뷰, 에세이, 강의노트
- Blum-Smith, Ben, and Samuel Coskey. “The Fundamental Theorem on Symmetric Polynomials: History’s First Whiff of Galois Theory.” arXiv:1301.7116 [math], January 29, 2013. http://arxiv.org/abs/1301.7116.