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* 실수 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 유한차원 [[division algebras|division algebra]]
 
* 실수 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 유한차원 [[division algebras|division algebra]]
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*  프로베니우스의 정리<br> 실수체 <math>\Bbb{R}</math> 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 나눗셈대수(division algebra)는 실수 <math>\Bbb{R}</math>, 복소수 <math>\Bbb{C}</math>, 사원수 <math>\Bbb{H}</math> 뿐이다<br>
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*  프로베니우스의 정리 실수체 <math>\Bbb{R}</math> 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 나눗셈대수(division algebra)는 실수 <math>\Bbb{R}</math>, 복소수 <math>\Bbb{C}</math>, 사원수 <math>\Bbb{H}</math> 뿐이다
  
 
 
 
 
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* 체 위에 정의된 composition 대수는 항등원 1 (즉 모든 원소 x 에 대하여 <math>1\cdot x = x \cdot 1= x</math>을 만족시키는 원소)을 갖는 normed 대수이다
 
* 체 위에 정의된 composition 대수는 항등원 1 (즉 모든 원소 x 에 대하여 <math>1\cdot x = x \cdot 1= x</math>을 만족시키는 원소)을 갖는 normed 대수이다
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*  후르비츠의 정리<br> 실수체 <math>\Bbb{R}</math> 위에 정의된 composition 대수는 실수 <math>\Bbb{R}</math>, 복소수 <math>\Bbb{C}</math>, 사원수 <math>\Bbb{H}</math>, 팔원수 <math>\Bbb{O}</math> 뿐이다.<br>
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*  후르비츠의 정리 실수체 <math>\Bbb{R}</math> 위에 정의된 composition 대수는 실수 <math>\Bbb{R}</math>, 복소수 <math>\Bbb{C}</math>, 사원수 <math>\Bbb{H}</math>, 팔원수 <math>\Bbb{O}</math> 뿐이다.
  
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*  실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이 나눗셈대수(division algebra)구조를 갖고 다음을 만족시킬 경우, normed 나눗셈대수로 정의:<math> \|x \, y\| \ =  \|x \| \, \| y\|</math><br>
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*  실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이 나눗셈대수(division algebra)구조를 갖고 다음을 만족시킬 경우, normed 나눗셈대수로 정의:<math> \|x \, y\| \ =  \|x \| \, \| y\|</math>
 
* normed 나눗셈대수(division algebra) 는 composition 대수의 특별한 경우이다
 
* normed 나눗셈대수(division algebra) 는 composition 대수의 특별한 경우이다
  
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* {{학술용어집|url=division}}
 
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* {{학술용어집|url=norm}}
 
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=division<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=division
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=norm
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=norm
 
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
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==관련도서==
 
==관련도서==
  
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*  General Cohomology Theory and K-Theory (London Mathematical Society Lecture Note Series) (Paperback)<br>
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*  General Cohomology Theory and K-Theory (London Mathematical Society Lecture Note Series) (Paperback)
 
** P. J. Hilton
 
** P. J. Hilton
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*  On Quaternions and Octonions<br>
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*  On Quaternions and Octonions
 
** John H. Conway, Derek A. Smith, A.K. Peters, 2003.
 
** John H. Conway, Derek A. Smith, A.K. Peters, 2003.
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*  Division Algebras: Octonions, Quaternions, Complex Numbers, and the Algebraic Design of Physics<br>
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*  Division Algebras: Octonions, Quaternions, Complex Numbers, and the Algebraic Design of Physics
 
** Geoffrey Dixon, July 1994
 
** Geoffrey Dixon, July 1994
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* [http://www.math.cornell.edu/%7Ehatcher/VBKT/VBpage.html Vector Bundles & K-Theory]<br>
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* [http://www.math.cornell.edu/%7Ehatcher/VBKT/VBpage.html Vector Bundles & K-Theory]
 
** Allen Hatcher
 
** Allen Hatcher
  
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==관련논문==
 
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* [http://www.jstor.org/stable/3219300 An Elementary Introduction to the Hopf Fibration]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/3219300 An Elementary Introduction to the Hopf Fibration]
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**  David W. Lyons, Mathematics Magazine Vol. 76, No. 2 (Apr., 2003), pp. 87-98<br>
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**  David W. Lyons, Mathematics Magazine Vol. 76, No. 2 (Apr., 2003), pp. 87-98
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* [http://www.jstor.org/stable/2315620 The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2315620 The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces]
 
** Bertram Walsh, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 74, No. 2 (Feb., 1967), pp. 188-194
 
** Bertram Walsh, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 74, No. 2 (Feb., 1967), pp. 188-194
  
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*  The four and eight square problem and division algebras<br>
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*  The four and eight square problem and division algebras
 
** CW Curtis, in MAA Studies in Modern Algebra Vol.2, (ed. AA Albert), pp. 100- 125
 
** CW Curtis, in MAA Studies in Modern Algebra Vol.2, (ed. AA Albert), pp. 100- 125
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* [http://www.jstor.org/stable/2323537 Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2323537 Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces]
 
** W. S. Massey, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 90, No. 10 (Dec., 1983), pp. 697-701
 
** W. S. Massey, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 90, No. 10 (Dec., 1983), pp. 697-701
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* [http://www.jstor.org/stable/1970147 On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/1970147 On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One]
 
** J. F. Adams, <cite style="line-height: 2em;">The Annals of Mathematics</cite>, Second Series, Vol. 72, No. 1 (Jul., 1960), pp. 20-104
 
** J. F. Adams, <cite style="line-height: 2em;">The Annals of Mathematics</cite>, Second Series, Vol. 72, No. 1 (Jul., 1960), pp. 20-104
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* [http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ The Octonions]<br>
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* [http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ The Octonions]
 
** John Baez, AMS 2001
 
** John Baez, AMS 2001
  
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* [http://www.jstor.org/stable/2315349 The Impossibility of a Division Algebra of Vectors in Three Dimensional Space]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2315349 The Impossibility of a Division Algebra of Vectors in Three Dimensional Space]
 
** Kenneth O. May, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 73, No. 3 (Mar., 1966), pp. 289-291
 
** Kenneth O. May, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 73, No. 3 (Mar., 1966), pp. 289-291
 
[[분류:추상대수학]]
 
[[분류:추상대수학]]

2020년 11월 13일 (금) 03:13 판

개요

  • \(\mathbb R^n\) 은 division algebra이다 \(\iff\)\(n=1,2,4,8\)
  • \(S^n\) 는 H-space 이다. \(\iff\)\(n=0,1,3,7\)
  • \(S^n\) 은 n개의 일차독립인 벡터장을 갖는다 \(\iff\)\(n=0,1,3,7\)
  • fiber 번들 \(S^p \to S^q \to S^r\) 이 존재한다. \(\iff\)\((p,q,r) = (0,1,1),(1,3,2),(3,7,4),(7,15,8)\)

 

 

프로베니우스의 정리

  • 실수 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 유한차원 division algebra
  • 프로베니우스의 정리 실수체 \(\Bbb{R}\) 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 나눗셈대수(division algebra)는 실수 \(\Bbb{R}\), 복소수 \(\Bbb{C}\), 사원수 \(\Bbb{H}\) 뿐이다

 

 

composition 대수에 관한 후르비츠의 정리

  • 체 위에 정의된 composition 대수는 항등원 1 (즉 모든 원소 x 에 대하여 \(1\cdot x = x \cdot 1= x\)을 만족시키는 원소)을 갖는 normed 대수이다
  • 후르비츠의 정리 실수체 \(\Bbb{R}\) 위에 정의된 composition 대수는 실수 \(\Bbb{R}\), 복소수 \(\Bbb{C}\), 사원수 \(\Bbb{H}\), 팔원수 \(\Bbb{O}\) 뿐이다.
  • 실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이 나눗셈대수(division algebra)구조를 갖고 다음을 만족시킬 경우, normed 나눗셈대수로 정의\[ \|x \, y\| \ = \|x \| \, \| y\|\]
  • normed 나눗셈대수(division algebra) 는 composition 대수의 특별한 경우이다

 

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

 

관련도서

  • General Cohomology Theory and K-Theory (London Mathematical Society Lecture Note Series) (Paperback)
    • P. J. Hilton
  • On Quaternions and Octonions
    • John H. Conway, Derek A. Smith, A.K. Peters, 2003.
  • Division Algebras: Octonions, Quaternions, Complex Numbers, and the Algebraic Design of Physics
    • Geoffrey Dixon, July 1994
  • Vector Bundles & K-Theory
    • Allen Hatcher

 

사전형태의 자료

 

 

관련논문

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