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* 벡터장 <math>{\mathbf v}</math>와 벡터장 <math> {\mathbf Y}</math>에 대해서 정의되며, 또다른 벡터장 <math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf Y}</math> 을 얻는다 | * 벡터장 <math>{\mathbf v}</math>와 벡터장 <math> {\mathbf Y}</math>에 대해서 정의되며, 또다른 벡터장 <math>\nabla_{\mathbf v} {\mathbf Y}</math> 을 얻는다 | ||
* [[크리스토펠 기호]] 를 사용하여 접속에 대한 구체적인 계산을 수행할 수 있다 | * [[크리스토펠 기호]] 를 사용하여 접속에 대한 구체적인 계산을 수행할 수 있다 | ||
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| − | * 벡터장 <math>{\mathbf X},{\mathbf Y}</math>와 함수 f에 대하여 다음 성질을 만족시킨다:<math>\begin{align}&\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_XY_1 + \nabla_XY_2\\ &\nabla_{X_1 + X_2}Y = \nabla_{X_1}Y + \nabla_{X_2}Y\\ &\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\\ &\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY\end{align}</math | + | * 벡터장 <math>{\mathbf X},{\mathbf Y}</math>와 함수 f에 대하여 다음 성질을 만족시킨다:<math>\begin{align}&\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_XY_1 + \nabla_XY_2\\ &\nabla_{X_1 + X_2}Y = \nabla_{X_1}Y + \nabla_{X_2}Y\\ &\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\\ &\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY\end{align}</math> |
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==접속 1형식== | ==접속 1형식== | ||
| − | * frame <math>\{X_i\}</math>에 대하여, 적당한 1-form <math>\omega_{i}^{j}</math>에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다:<math>\nabla X_i =\omega_{i}^{j}\otimes X_j</math | + | * frame <math>\{X_i\}</math>에 대하여, 적당한 1-form <math>\omega_{i}^{j}</math>에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다:<math>\nabla X_i =\omega_{i}^{j}\otimes X_j</math> |
| − | * 여기서 1-form <math>\omega_{i}^{j}</math>는 벡터장 <math>{\mathbf v}</math>에 대하여 다음을 만족시킴:<math>\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \omega_{i}^{j}({\mathbf v})\otimes X_j</math | + | * 여기서 1-form <math>\omega_{i}^{j}</math>는 벡터장 <math>{\mathbf v}</math>에 대하여 다음을 만족시킴:<math>\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \omega_{i}^{j}({\mathbf v})\otimes X_j</math> |
| − | * 이때의 <math>\omega=(\omega_{i}^{j})</math> 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다 | + | * 이때의 <math>\omega=(\omega_{i}^{j})</math> 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다 |
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| − | * <math>\,\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega</math> 는 곡률 2형식(2-form) 이라 부른다 | + | * <math>\,\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega</math> 는 곡률 2형식(2-form) 이라 부른다 |
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==레비치비타 접속== | ==레비치비타 접속== | ||
| − | * 리만다양체에 정의되는 접속 | + | * 리만다양체에 정의되는 접속 |
| − | * frame <math>\mathbf{e}=\{e_i\}</math | + | * frame <math>\mathbf{e}=\{e_i\}</math> |
| − | * 접속형식을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다:<math>\nabla_{e_i} e_j =\sum_{k=1}^{n} \omega_{j}^{k}(e_i) e_k</math | + | * 접속형식을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다:<math>\nabla_{e_i} e_j =\sum_{k=1}^{n} \omega_{j}^{k}(e_i) e_k</math> 즉 <math> \omega_{j}^{k}(e_i)={\Gamma^k}_{ij}</math> |
| − | * [[크리스토펠 기호]]를 통해 표현할수 있다:<math>\nabla_{e_i}e_j = \sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^ke_k</math | + | * [[크리스토펠 기호]]를 통해 표현할수 있다:<math>\nabla_{e_i}e_j = \sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^ke_k</math> |
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
| − | * [http://www.jstor.org/stable/2319607 The Geometry of Connections] | + | * [http://www.jstor.org/stable/2319607 The Geometry of Connections] |
** R. S. Millman and Ann K. Stehney, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 80, No. 5 (May, 1973), pp. 475-500 | ** R. S. Millman and Ann K. Stehney, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 80, No. 5 (May, 1973), pp. 475-500 | ||
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2020년 11월 16일 (월) 05:07 판
개요
- 방향미분의 일반화
- 벡터장 \({\mathbf v}\)와 벡터장 \( {\mathbf Y}\)에 대해서 정의되며, 또다른 벡터장 \(\nabla_{\mathbf v} {\mathbf Y}\) 을 얻는다
- 크리스토펠 기호 를 사용하여 접속에 대한 구체적인 계산을 수행할 수 있다
- \(\Delta=d+A\)
성질
- 벡터장 \({\mathbf X},{\mathbf Y}\)와 함수 f에 대하여 다음 성질을 만족시킨다\[\begin{align}&\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_XY_1 + \nabla_XY_2\\ &\nabla_{X_1 + X_2}Y = \nabla_{X_1}Y + \nabla_{X_2}Y\\ &\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\\ &\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY\end{align}\]
접속 1형식
- frame \(\{X_i\}\)에 대하여, 적당한 1-form \(\omega_{i}^{j}\)에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다\[\nabla X_i =\omega_{i}^{j}\otimes X_j\]
- 여기서 1-form \(\omega_{i}^{j}\)는 벡터장 \({\mathbf v}\)에 대하여 다음을 만족시킴\[\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \omega_{i}^{j}({\mathbf v})\otimes X_j\]
- 이때의 \(\omega=(\omega_{i}^{j})\) 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다
곡률 2형식
- 리만 곡률 텐서 의 일반화
- \(\,\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega\) 는 곡률 2형식(2-form) 이라 부른다
레비치비타 접속
- 리만다양체에 정의되는 접속
- frame \(\mathbf{e}=\{e_i\}\)
- 접속형식을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다\[\nabla_{e_i} e_j =\sum_{k=1}^{n} \omega_{j}^{k}(e_i) e_k\] 즉 \( \omega_{j}^{k}(e_i)={\Gamma^k}_{ij}\)
- 크리스토펠 기호를 통해 표현할수 있다\[\nabla_{e_i}e_j = \sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^ke_k\]
local expression
- \(X=X^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\), \(Y=Y^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\)일 때,
\[\nabla_{X}Y = \sum_{k=1}^n\left( \sum_{i}X^{i} \frac{\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}+\sum_{i,j}\Gamma_{ij}^k X^{i}Y^{j} \right)\frac{\partial}{\partial x^{k}}\]
예
역사
메모
- http://mathstat.carleton.ca/~ckfong/S43.pdf
- Moussiaux, A., 와/과Ph. Tombal. 1988. “Geometric calculus: A new computational tool for Riemannian geometry”. International Journal of Theoretical Physics 27 (5): 613-621. doi:10.1007/BF0066884
관련된 항목들
수학용어번역
- connection - 대한수학회 수학용어집
사전 형태의 자료
관련논문
- The Geometry of Connections
- R. S. Millman and Ann K. Stehney, The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 5 (May, 1973), pp. 475-500