프로베니우스 원소

개요

• 정수계수 다항식이 mod p 로 어떻게 분해되는지에 대한 정보를 담고 있음
• class field theory 에서 아틴 사상을 정의하는데 사용

정의

• \(K\) : 수체
• \(K/\mathbb{Q}\) : 갈루아 체확장
• \(p\) : unramified prime
• \(\mathfrak{p}\mid p\)
• \(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}(a)\equiv a^p\pmod{\mathfrak{p}}\) 를 만족하는 유일한 \(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\in \operatorname{Gal}(k_ {\mathfrak{p}}/\mathbf{F}_p)\) 가 존재한다

성질

• \(\operatorname{Frob}_{\sigma\mathfrak{p}} = \sigma\operatorname{Frob}_ {\mathfrak{p}}\sigma^{-1}\)
• \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\) 에서의 conjugacy class를 정의
• \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\)가 아벨군인 경우, \(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\) 는 \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\)의 원소 \(\sigma_{p}=\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\) 를 정의함

원분체에서의 프로베니우스 원소

• \(\zeta_n\)는 primitive n-단위근이고 \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)라 하자.
• \(p \nmid n\) 이면, p는 unramified
• \(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p\)
• 프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리

이차체확장에서의 프로베니우스 원소

• \(K = \mathbb Q(\sqrt{d})\)
• p는 unramified
• \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{1,-1\}\) 로 두면, \(\sigma_{p}=\left(\tfrac{d}{p}\right)\)

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

• Lefschetz fixed point theorem
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Lefschetz_fixed-point_theorem
• http://modular.math.washington.edu/books/ant/ant/node61.html
• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)

메타데이터

위키데이터

• ID : Q657469