프로베니우스 원소

수학노트
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개요

  • 정수계수 다항식이 mod p 로 어떻게 분해되는지에 대한 정보를 담고 있음
  • class field theory 에서 아틴 사상을 정의하는데 사용



정의

  • $K$ : 수체
  • $K/\mathbb{Q}$ : 갈루아 체확장
  • $p$ : unramified prime
  • \(\mathfrak{p}\mid p\)
  • \(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}(a)\equiv a^p\pmod{\mathfrak{p}}\) 를 만족하는 유일한 \(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\in \operatorname{Gal}(k_ {\mathfrak{p}}/\mathbf{F}_p)\) 가 존재한다

성질

  • \(\operatorname{Frob}_{\sigma\mathfrak{p}} = \sigma\operatorname{Frob}_ {\mathfrak{p}}\sigma^{-1}\)
  • \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\) 에서의 conjugacy class를 정의
  • \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\)가 아벨군인 경우, \(\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\) 는 \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\)의 원소 \(\sigma_{p}=\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}\) 를 정의함



원분체에서의 프로베니우스 원소



이차체확장에서의 프로베니우스 원소

  • \(K = \mathbb Q(\sqrt{d})\)
  • p는 unramified
  • \(\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{1,-1\}\) 로 두면, \(\sigma_{p}=\left(\tfrac{d}{p}\right)\)



역사



메모



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