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<h5>간단한 소개</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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<h5>개요</h5>
  
 
* <math>\mathbb R^n</math> 은 division algebra이다 <math>\iff</math><math>n=1,2,4,8</math>
 
* <math>\mathbb R^n</math> 은 division algebra이다 <math>\iff</math><math>n=1,2,4,8</math>
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<h5>composition 대수에 관한 후르비츠의 정리 (normed division algebras)</h5>
 
<h5>composition 대수에 관한 후르비츠의 정리 (normed division algebras)</h5>
  
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* 결합법칙을 가정하지 않는 경우
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* 실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이면서 division algebra이 다음을 만족시킬 경우, normed division algebra로 정의<br><math> \|x \, y\| \ =  \|x \| \, \| y\|</math><br>
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* 실수나 복소수위에 정의된
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* composition 대수
  
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a '''normed division algebra'''<em style="">A</em> is a [http://en.wikipedia.org/wiki/Division_algebra division algebra] over the [http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number real] or [http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number complex] numbers which is also a [http://en.wikipedia.org/wiki/Normed_vector_space normed vector space], with norm || · || satisfying the following property:
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: <math>\|xy\| = \|x\| \|y\|</math> for all <em style="">x</em> and <em style="">y</em> in <em style="">A</em>.
 
  
 
<br>'''composition algebra'''<em style="">A</em> over a [http://en.wikipedia.org/wiki/Field_%28mathematics%29 field]<em style="">K</em> is a [http://en.wikipedia.org/wiki/Unital unital] (but not necessarily [http://en.wikipedia.org/wiki/Associative associative]) [http://en.wikipedia.org/wiki/Algebra_over_a_field algebra] over <em style="">K</em> together with a [http://en.wikipedia.org/wiki/Nondegenerate nondegenerate][http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_form quadratic form]<em style="">N</em> which satisfies
 
<br>'''composition algebra'''<em style="">A</em> over a [http://en.wikipedia.org/wiki/Field_%28mathematics%29 field]<em style="">K</em> is a [http://en.wikipedia.org/wiki/Unital unital] (but not necessarily [http://en.wikipedia.org/wiki/Associative associative]) [http://en.wikipedia.org/wiki/Algebra_over_a_field algebra] over <em style="">K</em> together with a [http://en.wikipedia.org/wiki/Nondegenerate nondegenerate][http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_form quadratic form]<em style="">N</em> which satisfies
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* [http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ The Octonions]<br>
 
* [http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ The Octonions]<br>
 
** John Baez, AMS 2001
 
** John Baez, AMS 2001
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* [http://www.jstor.org/stable/2315349 The Impossibility of a Division Algebra of Vectors in Three Dimensional Space]<br>
 
* [http://www.jstor.org/stable/2315349 The Impossibility of a Division Algebra of Vectors in Three Dimensional Space]<br>

2010년 9월 16일 (목) 06:21 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • \(\mathbb R^n\) 은 division algebra이다 \(\iff\)\(n=1,2,4,8\)
  • \(S^n\) 는 H-space 이다. \(\iff\)\(n=0,1,3,7\)
  • \(S^n\) 은 n개의 일차독립인 벡터장을 갖는다 \(\iff\)\(n=0,1,3,7\)
  • fiber 번들 \(S^p \to S^q \to S^r\) 이 존재한다. \(\iff\)\((p,q,r) = (0,1,1),(1,3,2),(3,7,4),(7,15,8)\)

 

 

프로베니우스의 정리
  • 실수 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 유한차원 division algebras
  • 프로베니우스의 정리
    any associative division algebra over R is isomorphic to R, C or H.

 

composition 대수에 관한 후르비츠의 정리 (normed division algebras)
  • 실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이면서 division algebra이 다음을 만족시킬 경우, normed division algebra로 정의
    \( \|x \, y\| \ = \|x \| \, \| y\|\)
  • composition 대수

 


composition algebraA over a fieldK is a unital (but not necessarily associative) algebra over K together with a nondegeneratequadratic formN which satisfies

\[N(xy) = N(x)N(y)\,\]

for all x and y in A.

 

Normed division algebras are a special case of composition algebras

 

(정리) Hurwitz

The only composition algebras over \(\Bbb{R}\) are \(\Bbb{R}\),\(\Bbb{C}\), \(\Bbb{H}\), and \(\Bbb{O}\) , that is the real numbers, the complex numbers, the quaternions and the octonions.

 

 

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