"다이감마 함수(digamma function)"의 두 판 사이의 차이

2010년 2월 27일 (토) 10:03 판

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digamma 함수

개요

감마함수의 로그미분으로 정의

차분방정식에서 자연스럽게 등장함.

정의와 급수표현

정의
\(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)
급수표현
\(\psi(z)=-\frac{1}{z} -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)} , z \neq 0, -1, -2, -3, ...\)

(증명)

감마함수의 무한곱표현

\(\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}\)

위의 식에 로그미분을 취하여 얻는다. ■

차분방정식과의 관계

\(\psi(x + 1) = \psi(x) + \frac{1}{x}\)

반사공식

감마함수의 반사공식
\(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
위의 식을 로그미분하여 다음을 얻는다

\(\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)

여기서 \(x\)를 \(-x\)로 두면 다음을 얻는다

\(\psi(1 + x) = \psi(-x) -\pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)

덧셈공식

이항 덧셈공식
\(\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+\ln 2\)

(증명)

감마함수의 곱셈공식

\(2^{2z}\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2\sqrt{\pi}\;\Gamma(2z)\)

로그를 취하면

\((2\ln 2)x+\ln \Gamma(x) +\ln \Gamma\left(x + \frac{1}{2}\right) = \ln 2\sqrt{\pi}+\ln \Gamma(2x)\)

미분하면,

\(\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+\ln 2\) ■

가우스의 Digamma 정리

\(\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)\)

\(\psi\left(1-\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) +\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)\)

special values

\(\psi(1) = -\gamma\,\!\)

\(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} +\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma\)

삼각함수의 값

\(\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\} - \gamma\)

재미있는 사실

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 *  정의<br><math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math><br>
+*  급수표현<br><math>\psi(z)=-\frac{1}{z} -\gamma +\sum_{n=1}^\infty  \frac{z}{n(n+z)} , z \neq 0, -1, -2, -3, ...</math><br>
+(증명)
+[[감마함수]]의 무한곱표현
+<math>\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}</math>
-* [[감마함수]]의 무한곱표현<br><math>\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}</math><br>
+위의 식에 로그미분을 취하여 얻는다. ■
-*  로그미분을 통하여 다음을 얻는다<br><math>\psi(z+1)= -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{z}{n(n+z)} \right), z \neq -1, -2, -3, ...</math><br>
-*
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 <math>\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma</math>
+<math>\psi\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} +\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma</math>
 <math>\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma</math>
+<math>\psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma</math>
+<math>\psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma</math>
+[[삼각함수의 값]]
 <math>\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma</math>