다이감마 함수(digamma function)

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• digamma 함수
  

 

 

개요

• 감마함수의 로그미분으로 정의
  

• 차분방정식에서 자연스럽게 등장함.
  

 

 

정의와 급수표현

• 정의
  \(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)
  
• 급수표현
  \(\psi(z)=-\frac{1}{z} -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)} , z \neq 0, -1, -2, -3, \cdots\)
  

(증명)

감마함수의 무한곱표현

\(\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}\)

위의 식에 로그미분을 취하여 얻는다. ■

 

• \(z = 0, -1, -2, -3, \cdots\) 에서 pole을 가진다

 

 

함수의 그래프

• \(-5<x<5\)일 때, \(\psi(x)\)의 그래프
  [/pages/3767493/attachments/3141571 digamma.jpg]
  

 

 

도함수와 polygamma 함수

• trigamma  \(\psi^{(1)}(z)\)
• tetragamma \(\psi^{(2)}(z)\)
• pentagamma \(\psi^{(3)}(z)\)
• 폴리감마함수(polygamma functions)

 

 

 

차분방정식과의 관계

• 차분방정식
  \(\Delta \psi=\frac{1}{x}\) 즉, 
  

\(\psi(x + 1) - \psi(x) = \frac{1}{x}\)

• 차분방정식의 기본정리를 적용하면
  \(\sum_{n=a}^{b-1}\frac{1}{n}=\psi(b)-\psi(a)\)
  
• 조화급수와의 관계
  \(\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\psi(N+1)-\psi(1)=\psi(N+1)-\gamma\)
  
• 일반화
  \(\psi^{(n)}(x+1)-\psi^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\)
  

 

 

asymptotic series

• 급수표현
  \(\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}\)
  \(\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}}\)
  여기서 \(B_{n}\)은 베르누이 수
  

 

 

반사공식

• 감마함수의 반사공식
  \(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
  
• 위의 식을 로그미분하여 다음을 얻는다
  

\(\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)

여기서 \(x\)를 \(-x\)로 두면 다음을 얻는다

\(\psi(1 + x) = \psi(-x) -\pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)

 

 

덧셈공식

• 감마함수의 곱셈공식에 따른 성질
  \(m\ln m+\psi(z)+ \psi\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m\psi(mz)\)
  

(증명)

감마함수의 곱셈공식은 적당한 상수 c에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다. 

\(m^{mz}\Gamma(z)\cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = c\Gamma(mz)\)

변수를 x로 바꾸고, 로그를 취하면,

\((m\ln m)x+\ln \Gamma(x) +\ln \Gamma\left(x + \frac{m-1}{m}\right) =\ln c+\ln \Gamma(mx)\)

미분하면,

\(m\ln m+\psi(x)+\cdots+\psi(x+\frac{m-1}{m})=m\psi(mx)\) ■

• 이항 덧셈공식
  \(2\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+2\ln 2\)
  

 

 

 

가우스의 Digamma 정리

\(\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)\)

\(\psi\left(1-\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) +\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)\)

 

 

 

special values

\(\psi(1) = -\gamma\,\!\)

\(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} +\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{5}\right) =- \gamma-\frac{\pi}{2}\sqrt{1+\frac{2}{5}\sqrt{5}}-\frac{5}{4}\ln 5-\frac{\sqrt{5}}{4}\ln\frac{1}{2}(3+\sqrt{5})\)

\(\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\} - \gamma\)

 

 

 

재미있는 사실

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

 

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표
•  

 

 

 

 

관련된 항목들

• 감마함수
  
• 디리클레 L-함수
  

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function
• http://mathworld.wolfram.com/PolygammaFunction.html
• http://www76.wolframalpha.com/input/?i=Digamma+function

• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• Linear independence of digamma function and a variant of a conjecture of Rohrlich
  
  • Sanoli Gun, M. Ram Murty, and Purusottam Rath, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 8, August 2009, Pages 1858-1873

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

• Methods of Summation
  
  • Bertram Ross

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  • http://books.google.com/books?q=Methods+of+Summation
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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관련기사

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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