"다이로그 함수(dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이

2009년 11월 15일 (일) 06:55 판

간단한 소개

dilogarithm 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
\(\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)
\(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
다음과 같은 적분으로 정의하면 해석적으로 확장가능
\(\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \) for \(z\in \mathbb C-[1,\infty)\)

단위원에서의 실수부와 허수부

\(z=e^{i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq \pi\) 일 때,

\(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}\)

여러가지 항등식

오일러의 반사공식

\(\mbox{Li}_2 \left(x \right)+\mbox{Li}_2 \left(1-x \right)= \frac{\pi^2}{6}-\ln(x)\ln(1-x)\), \(0<x<1\)

반전공식
\(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(-x)\)
란덴의 항등식

\(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{-x}{1-x} \right)=-\frac{1}{2}\log^2(1-x)\) 또는

\(\mbox{Li}_2(1-x)+\mbox{Li}_2 \left(1- \frac{1}{x} \right)=-\frac{1}{2}\log^2(x)\)

곱셈공식

제곱공식
\(\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x))\)
\(\frac{1}{2}\mbox{Li}_2(x^2)=\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x)\)
일반적인 곱셈공식
\(\frac{1}{n} \operatorname{Li}_2(z^n) = \sum_{k=0}^{n-1}\operatorname{Li}_2\left(e^{2\pi i k/n}z\right)\)

Special values

다음 여덟 경우만이 알려져 있음.

\(\mbox{Li}_{2}(0)=0\)

\(\mbox{Li}_{2}(1)=\frac{\pi^2}{6}\)

\(\mbox{Li}_{2}(-1)=-\frac{\pi^2}{12}\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{12}-\frac{1}{2}\log^2(2)\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{15}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{10}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

황금비

special value의 계산

\(\mbox{Li}_{2}(-1)\) 의 계산

반전공식에 \(x=-1\) 을 대입하여 얻을 수 있다.

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1}{2})\) 의 계산

오일러의 반사공식에서 \(x=\frac{1}{2}\) 를 대입하여 얻을 수 있다.

또는

\(\zeta(2)=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\) 와

\(\frac{\pi^2}{12}=\sum_{1}^{\infty}\frac{2}{(2n)^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1+(-1)^n}{n^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\)

를 이용하여 보일 수 있다.

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})\) 과 \(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})\) 의 계산

오일러의 반사공식에 \(x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)을 대입하면 다음을 얻는다.

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\log(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})\log(\frac{3-\sqrt{5}}{2})\)

란덴의 항등식과 제곱공식을 활용하면 다음과 같은 항등식을 얻을 수 있다.

\(\mbox{Li}_2 (\frac{-x}{1-x})+\frac{1}{2}\mbox{Li}_2(x^2)-\mbox{Li}_2(-x) =-\frac{1}{2}(\log(1-x))^2\)

여기에 \(x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)을 대입하면 다음을 얻는다.

\(\frac{3}{2}\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})-\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

이제 위에서 얻어진 두 식을 통해 원하는 값을 계산할 수 있다.

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})\) 의 계산

제곱공식\(\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x))\) 에 \(x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) 를 대입하면,

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) =2(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}))\) 를 얻는다.

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})\) 의 계산

반전공식에 \(x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\)를 대입하면, \(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\) 를 얻는다.

다른 special values

\(2[\mbox{Li}_2(1-\sqrt 2)-\mbox{Li}_2(\sqrt2 -1)]=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}\)

(증명)

\(\int_0^{\pi}\frac{x\cos x}{1+\sin^2 x}dx=\ln^2(\sqrt{2}+1)-\frac{\pi^2}{4}\)

재미있는 사실

Don Zagier

The dilogarithm is the only mathematical function with a sense of humor.

수학용어번역

사전 형태의 자료

블로그

오늘의 계산 12
- 수학 잡담/오늘의 계산, 2008/08/10

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 <h5>간단한 소개</h5>
-*  dilogarithm 함수는 복소수 <math>|z|<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨<br><math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math><br>
+*  dilogarithm 함수는 복소수 <math>|z|<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨<br><math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math><br><math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속<br>
-* <math>|z|\leq 1</math> 에ㅐ서
 *  다음과 같은 적분으로 정의하면 해석적으로 확장가능<br><math>\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt </math> for <math>z\in \mathbb C-[1,\infty)</math><br>
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+<h5>단위원에서의 실수부와 허수부</h5>
+<math>z=e^{i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> 일 때,
+<math>\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}</math>