정수에서의 리만제타함수의 값

수학노트
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개요[편집]

  • 홀수인 자연수를 제외한 모든 정수에 대하여 리만제타함수의 값은 닫힌 형태로 알려져 있음.:<math>\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1</math>여기서 <math>B_{2n}</math>은 베르누이수. :<math>\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}, n \ge 1</math> 또는<math>\zeta(1-2n)=-\frac{B_{2n}}{2n}, n \ge 1</math>:<math>\zeta(0)=-\frac{1}{2}</math>
  • 참고로 베르누이 수의 처음 몇개는 다음과 같음

<math>B_0=1</math>, <math>B_1=-{1 \over 2}</math>, <math>B_2={1\over 6}</math>, <math>B_3=0</math>, <math>B_4=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_5=0</math>, <math>B_6=\frac{1}{42}</math>, <math>B_8=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_{10}=\frac{5}{66}</math>, <math>B_{12}=-\frac{691}{2730}</math>,<math>B_{14}=\frac{7}{6}</math>

 

 

유수정리를 이용한 증명[편집]

<math>\zeta(4)</math> 를 구하는 방법을 통해서 일반적인 경우의 증명도 알 수 있다. <math>\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz</math>

<math>C_{R}</math>는 원점을 중심으로 반지금이<math>R</math> 인 원

반지름을<math>R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})</math> 형태로 잡아 크게 하면, 적분은 0으로 수렴한다.

유수정리를 사용하자. 

0이 아닌 정수 <math>k</math>에 대하여 <math>z\approx k</math> 이면,  <math>\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}</math>

한편<math>\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}</math>의 0이 아닌 정수 <math>k</math>에서의 유수(residue)는  <math>\frac{1}{k^{4}}</math>로 주어진다. 

<math>\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>(코탄젠트 참조)

를 이용하면 0 에서의 유수는 <math>-\pi^{4}/45</math> 임을 알 수 있다.

그러므로 모든 유수의 합은 <math>-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0</math>. 따라서  <math>\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}</math> 를 얻는다.

일반적인 자연수 <math>n</math> 에 대하여도 마찬가지 방법으로

<math>2\zeta(2n)+\frac{(-1)^n 2^{2n}B_{2n}\pi^{2n}}{(2n)!}=0</math>

 <math>\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1</math>

을 얻는다.

 

왓슨 변환(Watson transform)

 

 

맥클로린급수[편집]

  • 로그감마 함수의 맥클로린 급수는 다음으로 주어진다:<math>\log\Gamma(1+x) =-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}x^k</math>
  • 코탄젠트의 맥클로린 급수:<math>\pi x\cot \pi x =-2 \sum_{n=0}^\infty \zeta(2n)x^{2n}</math>

 

 

홀수에서의 리만제타함수의 값[편집]

  • <math>\zeta(1)</math> 는 발산한다.
  • <math>\zeta(3), \zeta(5), \zeta(7), \cdots</math> 의 닫힌 형식이 어떤 것인지는 아직 알려지지 않았다. (짝수에서의 값에 비해 훨씬 어려운 문제이다.)
  • <math>\zeta(3)</math> 이 무리수인 것은 Apéry가 1979년 증명했다. 초월성에 대해서는 아직 알려지지 않았다. ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리) 항목 참조.
  • 리만 제타 함수를 무리수로 만드는 홀수는 무한히 많다는 사실, 그리고 <math>\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)</math> 중 적어도 하나는 무리수라는 사실이 증명되어 있다.

 

 

역사[편집]

 

 

관련된 항목들[편집]

 

 

관련도서[편집]

블로그[편집]


관련논문[편집]