대수적 위상수학

간단한 요약

• 대수적인 언어를 통해 위상적인 공간을 들여다 보는 법을 배움.
• 곡면의 분류 정리, fundamental group, covering space 세 가지가 핵심.
• 대학원 수준에서는 n차원 다양체를 대상으로 대수적 불변량을 찾음.

 

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 기초적인 일반위상수학
  
  • product space
  • quotient space
  • 연결, 컴팩트
• 추상대수학
  
  • 군론

다루는 대상

• 곡면
• Simplicial complex

 

중요한 개념 및 정리

• 호모토피
• 오일러의 정리
• 곡면의 분류 정리
• fundamental group
• 단일연결된 공간(simply connected space)
• 포앵카레의 추측
• covering space
• Hairy ball theorem

 

유명한 정리 혹은 생각할만한 문제

• 포앵카레-호프 정리
• 브라우저 부동점 정리
• 레프쉐츠 부동점 정리
•  

 

다른 과목과의 관련성

• 일반위상수학
• 다변수미적분학
  
  • 벡터장
  • 포앵카레 보조정리
• 미분기하학
  
  • 가우스-보네 정리
• 복소함수론
  
  • Uniformization theorem 과 단일연결된 상수곡률곡면
  • 호모토피
  • 모노드로미
  • covering space

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• 대학원 수준의 대수적 위상수학
• Characteristic class
• 리만곡면론
  
  • Branched covering

 

 

 

추천도서 및 보조교재

•  
   
  Algebraic Topology
  
  • W. Fulton
• Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
  
  • David S. Richeson
     
     
    

 

참고할만한 자료

• A Note on the Universal Covering Space of a Surface
  
  • G. W. Knutson
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 5 (May, 1971), pp. 505-509
• Covering Spaces of Algebraic Groups
  
  • Andy R. Magid
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 83, No. 8 (Oct., 1976), pp. 614-621