"데데킨트 에타함수"의 두 판 사이의 차이

2010년 1월 13일 (수) 19:45 판

무한곱으로 정의되는 모듈라 형식(weight 1/2)
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
데데킨트 합
자연수의 분할수(integer partitions) 의 연구에 중요한 역할

(정리)
\(\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})\)
여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택
더 일반적으로, 다음이 성립한다.

\(\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)\)
여기서,
\(\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}\)
\(s(h,k)\)는 데데킨트 합

\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

\(\eta(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(2i)=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{11/8} \pi ^{3/4}}\)

\(\eta(\frac{i}{2})=\frac{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)}{2^{7/8} \pi ^{3/4}}\)

@@ 19번째 줄: / 19번째 줄: @@
 <h5>모듈라 성질</h5>
-<math>\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})</math>
+*  (정리)<br><math>\eta(-\frac{1}{\tau}) =\sqrt{\frac{\tau}{i}}\eta(\tau)=\sqrt{-i\tau}\eta({\tau})</math><br> 여기서 <math>-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}</math> 이 되도록 선택<br>
+*  더 일반적으로,  다음이 성립한다.<br>  <br><math>\eta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =\epsilon(a,b,c,d) \{-i\left(c\tau+d\right)\}^{1/2}\eta(\tau)</math><br> 여기서,<br><math>\epsilon(a,b,c,d)=\exp\{\pi i \left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\}</math><br><math>s(h,k)</math>는 [[데데킨트 합]]<br>
-여기서 <math>-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}</math> 이 되도록 선택
-<math>\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =  \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)</math>
+<h5>유리수점(cusp) 근처에서의 변화</h5>